Exercícios Resolvidos de Movimento Espacial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 63, 2/179

O esguicho rotativo borrifa uma grande área circular e gira com a velocidade angular constante θ ˙ = K . Partículas de água deslocam-se ao longo do tubo em uma taxa constante l ˙ = c em relação ao tubo. Escreva expressões para os módulos da velocidade e aceleração de uma partícula de água P para uma determinada posição l no tubo rotativo.

Passo 1

Bom, o que está acontecendo ali é que essa mangueira está esguichando água enquanto gira.

Sua missão é encontrar as expressões para a velocidade da partícula e para a sua aceleração.

Bora?

Basicamente vamos identificar as variáveis importantes e aplicar as fórmulas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

l ˙ é a taxa de variação do deslocamento da partícula na direção de l . Temos, então, que a velocidade radial de uma partícula será dada por:

v r = l ˙ s e n β  

Sendo l ˙ = c :

v r = c s e n β

E v z :

v z = l ˙ c o s β = c c o s β

E a velocidade em θ ? Será:

v θ = r θ ˙ = l s e n β θ ˙ = l s e n β K

Percebeu que decompomos ali o l pra achar r ?

Assim, o módulo da velocidade será:

v = v r 2 + v z 2 + v θ 2 = c 2 s e n 2 β + c 2 cos 2 ⁡ β + l 2 s e n 2 β K 2

v = c 2 + l 2 s e n 2 β K 2

Passo 3

Para as acelerações, teremos:

a r = r ¨ - r θ ˙

A variação de r , que nada mais é que a variação de l , é constante, assim:

r ¨ = 0

E:

a r = - r θ ˙ = - K 2 l s e n ( β )

E:

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Só que θ ¨ = 0 , já que θ ˙ = K , que é uma constante. Assim:

a θ = 0 + 2 . l ˙ s e n β . K = 2 c K s e n β

E só falta a z :

a z = v z ˙ = c c o s β ' = 0

Assim, o módulo da aceleração será dado por:

a = - K 2 l s e n β 2 + 2 c K s e n β 2 + 0 2 = K s e n β K 2 l 2 + 4 c 2

Resposta

v = c 2 + l 2 s e n 2 β K 2

a = K s e n β K 2 l 2 + 4 c 2

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