Exercícios Resolvidos de Movimento Espacial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 63, 2/176

O elemento giratório em uma câmara de mistura recebe um movimento axial periódico z = z 0 s e n ( 2 π n t ) enquanto está girando na velocidade angular constante θ ˙ = ω . Determine a expressão para o módulo máximo da aceleração de um ponto A sobre a borda de raio r . A frequência n da oscilação vertical é constante.

Passo 1

Vamos usar as coordenadas polares ( r , θ   e   z ) neste exercício.

Perceba que existe aceleração em z ? Sim, a aceleração de um movimento harmônico.

E em θ ? Não! Perceba que o movimento circular ao redor do eixo de giro é feito sob uma velocidade constante.

Existe aceleração no sentido radial? Sim, como é um movimento circular, vai existir uma aceleração centrípeta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Desenhando:

Passo 3

Vamos equacionar agora:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2  

Perceba que o raio não varia, assim: r ¨ = 0 . Então:

a r = - r θ ˙ 2 = - r ω 2

E:

a θ = 0

Como já discutimos.

E:

a z = d 2 z 0 s e n 2 π n t d t 2 = - 4 z 0 n 2 π 2 s e n ( 2 π n t )

Show? Só derivamos duas vezes o movimento harmônico que tá rolando na vertical.

Passo 4

Assim, o módulo da aceleração é dado por:

| a | = a θ 2 + a r 2 + a z 2 = 0 2 + - r ω 2 2 + - 4 z 0 n 2 π 2 s e n 2 π n t 2

a = ω 4 r 2 + 16 z 0 2 n 4 π 4 s e n 2 2 π n t

E qual será o módulo máximo? Ocorrerá quando s e n 2 π n t = 1 . Assim:

a m á x = ω 4 r 2 + 16 z 0 2 n 4 π 4

Resposta

a m á x = ω 4 r 2 + 16 z 0 2 n 4 π 4

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