Exercícios Resolvidos de Movimento Espacial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 62, 2/172

Um projétil é lançado a partir do ponto O com uma velocidade inicial de módulo v 0 = 300   m / s , direcionado como indicado na figura. Calcule as componentes x , y e z da posição, velocidade e aceleração 20 segundos após o lançamento. Despreze o arrasto aerodinâmico.

Passo 1

Perceba o seguinte: a velocidade de lançamento faz um ângulo de 60 ° com o plano x y (horizontal). Já no plano x y , a velocidade faz um ângulo de 20 ° com o eixo y , no sentido negativo de x .

Vamos desenhar separadamente:

E:

Beleza?

O que podemos concluir já de cara?

Bom, não é dito no enunciado, mas esse sistema está sendo influenciado pela gravidade local. Essa gravidade atua no eixo z .

Sendo assim, o movimento do corpo será acelerado na direção z , mas será um movimento de velocidade constante tanto em x quanto em y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos primeiro calcular as equações gerais da posição, velocidade e aceleração para cada direção e depois calculamos para t = 20   s .

Para z :

v z = v 0 + a t

Onde

a = - g

E:

v 0 = v 0 z

Assim:

v z ( t ) = v 0 z - g t = v 0 s e n 60 ° - g t

v z t = v 0 3 2 - g t

Substituindo os valores:

v z t = 300 3 2 - 10 t = 150 3 - 10 t

Dê uma olhada aqui no triângulo:

Beleza. E a posição z ? z vai ser dado por:

z t = z 0 + v 0 z t - g 2 t 2

Já que a aceleração é constante e igual a g .

z 0 = 0 , já que ele parte da origem. Assim:

z t = v 0 s e n 60 ° t - g 2 t 2 = v 0 3 2 t - 10 2 t 2  

z t = 150 3 t - 5 t 2

Passo 3

Agora vamos lidar com as posições x e y :

a x = a y = 0

Já que os movimentos terão velocidades constantes. Vamos olhar de novo a direção da nossa velocidade nesse plano:

Beleza, mas eu posso pegar a velocidade que ele deu no enunciado ( 300   m / s ) e fazer:

v x = - 300 s e n ( 20 ° ) e v y = 300 c o s ( 20 ° ) ?

Não!!!

Antes disso, precisamos calcular a componente horizontal de v 0 . A componente vertical é v 0 z , que já calculamos. Assim, a horizontal será:

v 0 x y = v 0 cos ⁡ 60 ° = v 0 2 = 150   m / s

Agora sim:

v x = - 150 s e n 20 ° = - 51,3   m / s

v y = 150 cos ⁡ 20 ° = 140,9   m / s

E as equações do movimento?

Serão assim:

x t = v x 0 + v x t

y t = v y 0 + v y t

Onde:

v x 0 = v y 0 = 0

E:

a x = a y = 0

Então, vamos ter que:

x t = - 51,3 t

E:

y t = 140,9 t

Passo 4

Assim:

v z t = 150 3 - 10 t

z t = 150 3 t - 5 t 2

Para t = 20   s :

v z 20 = 150 3 - 10 20 = 59,8   m / s

E:

z 20 = 150 3 ( 20 ) - 5 20 2 = 3196,1   m

Como:

a x = 0

v x = - 51,3   m / s

E:

x t = - 51,3 t = - 51,3 20 = - 1026   m

E também:

a y = 0

v y = 140,9   m / s

Então:

y t = 140,9 t = 140,9 20 = 2818,0 m

Formalizando isso vetorialmente:

s t = x t , y t , z t

s 20 = - 1026,2818,3196.1 m

E:

v t = v x t ,   v y t ,   v z t

v 20 = - 51.3 ,   140.9 ,   59,8 m / s

E para finalizar:

a 20 = 0,0 , - 10 m / s 2

Resposta

s 20 = - 1026,2818,3196.1 m

v 20 = - 51.3 ,   140.9 ,   59,8 m / s

a 20 = 0,0 , - 10 m / s 2

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