Exercícios Resolvidos de Movimento Espacial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 64, 2/180

O pequeno bloco P movimenta-se com velocidadeconstante v na trajetória circular de raio r sobre a superfície inclinada. Se θ = 0 no instante t = 0 , determine as componentes x , y e z da velocidade e da aceleração como funções do tempo.

Passo 1

Opa, essa é uma questão que assusta a primeira vista, né?

Veja bem: ele tá te pedindo as componentes x ,   y   e z da aceleração e velocidade daquele móvel. Porém, e você deve ter percebido, o móvel está executando uma trajetória em um plano inclinado.

E agora?

É só usarmos os novos eixos x ' ,   y '   e z ' :

Depois a gente vai usar relações trigonométricas pra transferir o que calcularmos para as coordenadas retangulares padrão.

Além disso, veja que, pelo o enunciado, a velocidade tangencial vale v . Assim, a velocidade angular vai ser:

θ ˙ = ω = v r

E θ :

θ = v r t

Guarde no coração, vamos usá-las no final.

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Passo 2

Beleza, nesse novo sistema de coordenadas, vamos ter:

Assim:

x ' = r c o s θ

y ' = r s e n θ

E z ' ? z ' é nulo nesse novo sistema de coordenadas. Esse sistema está em cima do plano inclinado. Assim, a componente z é nula.

Assim:

v ' x = x ' ˙ = - r θ ˙ s e n θ

v ' y = y ' ˙ = r θ ˙ c o s θ

Perceba que usamos a regra da cadeia ali.

E:

a ' x = x ' ¨ = - r θ ˙ 2 c o s θ

a y ' = y ' ¨ = - r θ ˙ 2 s e n θ

Passo 3

Vamos como vamos decompor essas componentes na direção x , y   e   z agora. Dê uma olhada na figura abaixo:

A linha azul tracejada indica o plano inclinado.

Bom, assim, teremos que decompor tanto o eixo x ' quanto o z ' . Assim:

x = x ' cos ⁡ 30 ° + z ' cos ⁡ 60 ° = x ' cos ⁡ 30 ° + z ' s e n ( 30 ° )

Substituindo:

x = r c o s θ

x = r c o s θ cos ⁡ 30 ° + 0 . s e n ⁡ ( 60 ° )

x = 3 2 r c o s θ

Substituindo θ = v r t :

x = 3 2 r c o s v r t

E z ? Vai ser parecido, mas vamos ter uma subtração, já que as projeções terão sentidos opostos:

z = z ' s e n 90 - 30 - x ' s e n 30 = z ' cos ⁡ 30 - x ' s e n ⁡ ( 30 )

z = 0 . cos ⁡ 30 ° - x ' . 1 2

z = - x ' 2 = - r c o s θ 2 = - r 2 cos ⁡ v r t

Faltou o y . O que fazemos com ele? Nada, y = y ' . O plano inclinado não influencia a direção y pois ela é perpendicular a ele:

y = y ' = r s e n θ = r s e n v r t

Passo 4

Tudo pronto, agora só falta a gente derivar pra achar v   e   a :

v x = - 3 2 v r r s e n v r t = - 3 2 v s e n v r t

E:

a x = - 3 3 v 2 r cos ⁡ v r t

E:

v y = r v r c o s v r t = v c o s v r t

E:

a y = - v 2 r s e n v r t

E o z :

z = - r 2 cos ⁡ v r t

E:

v z = v 2 s e n v r t

E:

a z = v 2 2 r cos ⁡ v r t

Resposta

v = - 3 2 v s e n v r t ; v c o s v r t ; v 2 s e n v r t

a = - 3 3 v 2 r cos ⁡ v r t ; - v 2 r s e n v r t ; v 2 2 r cos ⁡ v r t

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