Exercícios Resolvidos de Movimento Espacial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 63, 2/183

A estrutura de base da escada de um carro de bombeiros gira em torno de um eixo vertical através de O com uma velocidade angular constante Ω = 10   g r a u s / s . Ao mesmo tempo, a unidade da escada O B se eleva a uma taxa constante ∅ = 7   g r a u s / s , e a seção A B da escada se prolonga de dentro da seção O A na taxa constante de 0,5   m / s . No instante em questão, ∅ = 30 ° , O A - = 9   m e A B - = 6   m . Determine o módulo da velocidade e da aceleração da extremidade B da escada.

Passo 1

Vamos usar as coordenadas esféricas aqui.

Primeiro, vamos calcular v r :

v r = R ˙ = 0,5 m / s

E:

v θ = R θ ˙ c o s ∅ = 15 10 π 180 cos ⁡ 30 ° = 2,27   m / s

E só falta:

v ∅ = R ∅ = 15 7 . π 180 = 1,833   m / s ˙

Assim:

v = v ∅ 2 + v θ 2 + v r 2 = 2,96   m / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Em relação às acelerações:

a r = R ¨ - R ∅ ˙ 2 - R ∅ ˙ 2 cos 2 ⁡ ∅ = 0 - 15 7 π 180 2 - 15 10 . π 180 2 cos 2 ⁡ 30 ° = - 0,567   m / s 2

E:

a θ = cos ⁡ ∅ R R 2 θ ¨ + 2 R R ˙ θ ˙ - 2 R θ ˙ ∅ ˙ s e n ∅

= cos ⁡ 30 ° 15 0 + 2 15 0,5 10 . π 180 - 2 15 10 . π 180 7 . π 180 s e n 30 ° = - 0,1687 m / s 2

Assim:

a ∅ = 1 R R 2 ∅ ¨ 2 + 2 R R ˙ ∅ ˙ + R θ ˙ 2 s e n ∅ c o s ⁡ ( ∅ )

a ∅ = 1 15 ( 0 + 2 15 0,5 7 . π 180 + 15 10 . π 180 2 s e n 30 ° cos ⁡ 30 ° = 0,320 m / s 2

Assim:

a = a r 2 + a ∅ 2 + a θ 2 = 0,672 m / s 2

Resposta

a = 0,672   m / s 2

v = 2,96   m / s

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