Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa – 2D e 3D

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Enunciado

O curral bidimensional infinito da fig. 39-30 tem a forma de um quadrado de lado L = 150 n m . Um detector quadrado, com 5,00 n m de lado e lados paralelos aos eixos x e y, é instalado no centro do ponto ( 0,200 L ; 0,800 L ) . Qual a probabilidade que seja detectado um elétron que está no estado de energia E 1 _ 3 ?

Fig. 39-30.

Passo 1

Como o enunciado pede a probabilidade de encontrarmos um elétron em um determinado

estado vamos usar a equação da probabilidade.

p x , y = ψ n x , n y x , y 2 d x d y

Onde a função de onda ψ n x , n y x , y é dada pelo produto das funções de cada dimensão:

ψ n x , n y x , y = ψ n x x ψ n y y = 2 L x . 2 L y . s e n n x π . x L x . s e n n y π . y L y

E

p x , y = 4 L x L y . s e n n x π . x L x . s e n n y π . y L y 2 d x d y

p x , y = 4 L x L y . s e n 2 n x π . x L x . s e n 2 n y π . y L y d x d y

Passo 2

Como o detector tem dimensões quadradas de 5,00 n m de lado, vamos substituir d x e d y pelas dimensões e considerar que a densidade de probabilidade é constante nos pontos em torno do ponto dado:

p x , y = 4 L x L y . s e n 2 n x π . x L x . s e n 2 n y π . y L y 5,00 . 5,00 p m 2

E como o curral tem forma quadrada L = L x = L y = 150 n m substituímos na equação e fica:

p x , y = 4 × ( 5 p m ) 2   ( 150 p m ) 2 . s e n 2 n x π . x L x . s e n 2 n y π . y L y

A questão pede a energia no nível n x = 1   e n y = 3 assim:

p x , y = 4 × ( 5 p m ) 2   ( 150 p m ) 2 . s e n 2 π . x L x . s e n 2 3 π . y L y

Passo 3

Agora nos resta substituir a posição dada, arrumar e resolver a equação. Temos L x = L y = L e a posição dada no enunciado é ( 0,200 L ; 0,800 L ) , com isso a equação fica:

p x , y = 4 × ( 5 p m ) 2   ( 150 p m ) 2 . s e n 2 π 0,200 L L . s e n 2 3 π 0,800 L L

p x , y = 4 × ( 5 p m ) 2   ( 150 p m ) 2 . s e n 2 0,200 π . s e n 2 2,4 π

Resolvendo temos:

p x , y = 1,4 × 10 - 3

Resposta

p x , y = 1,4 × 10 - 3

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