Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa – 2D e 3D

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Enunciado

Um elétron se encontra no estado fundamental de um poço de potencial bidimensional infinito na forma de um quadrado de lado L . Uma sonda quadrada com área de 400 p m 2 é instalada com o centro no ponto     x = L / 8   , y = L / 8 . A probabilidade que o elétron seja detectado é 0,0450. Qual é o valor de L ?

Passo 1

O enunciado dá pra gente a probabilidade então usaremos essa equação:

p x , y = ψ n x , n y x , y 2 d x d y

Onde a função de onda ψ n x , n y x , y é dada pelo produto das funções de cada dimensão:

ψ n x , n y x , y = ψ n x x ψ n y y = 2 L x . 2 L y . s e n n x π . x L x . s e n n y π . y L y

E

p x , y = 4 L x L y . s e n n x π . x L x . s e n n y π . y L y 2 d x d y

p x , y = 4 L x L y . s e n 2 n x π . x L x . s e n 2 n y π . y L y d x d y

Passo 2

Como poço é quadrado L x = L y = L , assim:

p x , y = 4 L 2 . s e n 2 n x π . x L . s e n 2 n y π . y L d x d y

Substituindo a área da sonda por d x d y temos:

p x , y = 4 L 2 . s e n 2 n x π . x L . s e n 2 n y π . y L . 400 p m 2

O elétron está no estado fundamental e com isso n x = 1   e n y = 1 , assim:

p x , y = 4 L 2 . s e n 2 π . x L . s e n 2 π . y L . 400 p m 2

Agora vamos substituir a posição da sonda ( L / 8 ; L 8 ) na função de probabilidade e teremos apenas o L de incógita, assim:

p x , y = 4 L 2 . s e n 2 π L . L 8 . s e n 2 π L . L 8 . 400 p m 2

Arrumando melhor a equação fica:

p x , y = 4 L 2 . s e n 4 π 8 . . 400 p m 2

Passo 3

Precisamos isolar o L e substituir o valor da probabilidade na equação. Isolando o L a equação vai ficar assim:

L = 4 p x , y . s e n 4 π 8 . . 400 p m 2

Com p x , y = 0,0450 , resolvemos a equação e aí:

L = 27,6 p m

Resposta

L = 27,6 p m

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