Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa – 2D e 3D

Ver Teoria

Enunciado

Num curral dimensional onde L x = 2 L y , a energia no estado fundamental do elétron é de E = 2 × 10 - 20 J , encontre as duas dimensões do curral e calcule o valor da função de onda correspondente para as posicões ( L y , L x ) .

Dado:

Massa do elétron m e = 9,109 × 10 - 31 K g

Passo 1

Como temos apenas duas dimensões podemos calcular a nossa energia dependente apenas de x   e   y .

E x = n x 2 . h 2 8 m L x 2

E y = n y 2 . h 2 8 m L y 2

A energia total é a soma das duas energias então:

E x + E y = E t

n x 2 . h 2 8 m L x 2 + n y 2 . h 2 8 m L y 2 = E t

O enunciado diz que o elétron está no estado fundamental e portanto:

n x = n y = 1

h 2 ( 1 8 m L x 2 + 1 8 m L y 2 ) = E t

Passo 2

Agora que isolamos a energia total podemos trabalhar a equação para encontrarmos os lados da caixa, assim:

h 2 8 m ( L y 2 L x 2 L y 2 + L x 2 L x 2 L y 2 ) = E t

Nosso objetivo é encontrar os lados então devemos isolar as dimensões, assim:

L y 2 + L x 2 L x 2 L y 2 = E t h 2 . 8 m

E como L x = 2 L y , temos:

L y 2 + 2 L y 2 2 L y 2 . L y 2 = E t h 2 . 8 m

L y 2 + 4 L y 2 4 L y 2 . L y 2 = E t h 2 . 8 m

5 L y 2 4 L y 2 . L y 2 = E t h 2 . 8 m

5 4 L y 2 = E t h 2 . 8 m

Rearrumando tudo enfim temos:

5 . h 2 32 . E t . m = L y 2

h . 5 32 . E t . m = L y

Substituindo os valores temos:

L y = 6,626 × 10 - 34 . 5 32 × 2 × 10 - 20 × 9,109 × 10 - 31  

L y = 1,94 n m = 1940 p m

L x = 2 L y = 3,88 n m = 3880 p m

Passo 3

Encontrados os lados podemos encontrar a nossa função de onda, lembrando que para um curral bidimensional a função de onda pode ser descrita por:

ψ x , y = 2 L x . 2 L y . s e n n x π . x L x . s e n n y π . y L y

Substituindo na função o ponto ( L y , L x ) temos:

ψ x , y = 2 L x . 2 L y . s e n n x π . L y L x . s e n n y π . L x L y

Fazendo L x = 2 L y e substituindo n x = n y = 1   temos:

ψ x , y = 2 L y 2 . s e n π . L y 2 L y . s e n π . 2 L y L y

Analisando os argumentos dos senos temos o produto de s e n π 2 × s e n ( 2 π )

E s e n ( 2 π ) = 0 que multiplica toda a função , portanto a função de onda será zero nesse ponto.

ψ x , y = 0

Resposta

L y = 1,94 n m = 1940 p m

L x = 2 l y = 3,88 n m = 3880 p m

ψ x , y = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Um elétron (cuja massa é m ) está confinado em um curral retangular de dimensões L x = L e L y = 2 L . (a) Quantas frequências diferentes o elétron e capaz de emitir ou absorver ao sofrer uma transiçã
Um elétron (cuja massa é m ) está confinado em uma caixa cúbica de dimensões L x = L y = L z (a) Quantas frequências diferentes o elétron é capaz de emitir ou absorver ao sofrer uma transição entre do
Um curral retangular de dimensões L x = L e L y = 2 L contém um elétron. Determine em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 , onde m é a massa do elétron, (a) a energia do estado fundamental do elétron; (b) a en
07. Um feixe de elétrons de 2e V incide sobre uma barreira de potencial retangular de 4e V de altura e 10Å Å de espessura. Qual é a probabilidade de transmissão? Qual seria para elétrons de 3e V ?