Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa – 2D e 3D

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Enunciado

Um elétron (cuja massa é m ) está confinado em uma caixa cúbica de dimensões L x = L y = L z = L .

  1. Quantas frequências diferentes o elétron é capaz de emitir ou absorver ao sofrer uma transição entre dois níveis que estão entre os cinco de menor energia?
  2. Que múltiplo de h / 8 m L 2 corresponde:

  3. À menor frequência?
  4. À segunda menor frequência?
  5. À terceira menor frequência?
  6. À maior frequência?
  7. À segunda maior frequência?
  8. À terceira maior frequência?

Passo 1

Letra a)

Quando o elétron sai de um nível de energia E i para um nível de energia E f de menor energia, ele emite um fóton cuja energia é dada por:

E i - E f = h f

Onde f é a frequência do fóton. Isso significa que para cada Δ E corresponde uma única frequência, e vice versa.

Se a transição entre os níveis A e B e entre os níveis C e D forem tais que:

E A - E B = E C - E D

Então ambos emitem luz com a mesma frequência.

Passo 2

A energia de um dado nível do elétron em uma caixa cúbica é dada por:

E n x , n y , n z = h 2 8 m L x 2 n x 2 + h 2 8 m L y 2 n y 2 + h 2 8 m L z 2 n z 2 = h 2 8 m n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2 + n z 2 L z 2

Considerando que L z = L y = L x = L , temos:

E n x , n y , n z = h 2 8 m L 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

E podemos avaliar quais são os cinco níveis de menor energia.

Esses cinco níveis correspondem a:

n x , n y ,   n z = 1,1 , 1 ; 1,1 , 2 ; 1,2 , 2 ; 1,1 , 3 ; ( 2,2 , 2 )

Cujas energias em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 são:

E 1,1 , 1 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

E 1,1 , 2 = 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6

E 1,2 , 2 = 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9

E 1,1 , 3 = 1 2 + 1 2 + 3 2 = 11

E 2,2 , 2 = 2 2 + 2 2 + 2 2 = 12

Todos estes estados foram encontrados por tentativa e erro, mas avaliar todos os estados com mesma energia que eles é muito trabalhoso. Assim, se você verificar que algum estado tem uma dessas energias acima, este estado será equivalente aos que usamos.

Passo 3

Cada frequência possível corresponde a uma transição de um nível de maior energia para um nível de menor energia.

As transições possíveis são:

1 : 2,2 , 2 → 1,1 , 3 ;   2 : 2,2 , 2 → 1 , 2,2 ;   3 : 2,2 , 2 → 1,1 , 2 ;   4 : 2,2 , 2 → 1,1 , 1

5 : 1,1 , 3 → 1 , 2,2 ;   6 : 1,1 , 3 → 1,1 , 2 ;   7 : 1,1 , 3 → 1,1 , 1

9 : 1 , 2,2 → 1,1 , 2 ;   8 : 1,2 , 2 → 1,1 , 1

10 : 1 , 1 , 2 → 1,1 , 1

Que são 10 transições no total. Contudo, algumas transições correspondem a um mesmo Δ E , emitindo luz em uma mesma frequência. A variação de energia de todas as transições é (tudo em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 ):

Δ E 1 = 1 ;   Δ E 2 = 3 ;   Δ E 3 = 6 ;   Δ E 4 = 9

Δ E 5 = 2 ;   Δ E 6 = 5 ;   Δ E 7 = 8

Δ E 8 = 3 ;   Δ E 9 = 6

Δ E 10 = 3

Onde numeramos as transições anteriores de 1 a 10 da esquerda para a direita e de cima para baixo.

Temos então apenas 7 frequências possíveis correspondentes a:

Δ E = 1 ;   Δ E = 2 ; Δ E = 3 ; Δ E = 5 ; Δ E = 6 ; Δ E = 8 ; Δ E = 9

Passo 4

Letra b)

Da discussão anterior, temos que:

f = Δ E h

Ou seja, quanto menor a variação de energia, menor a frequência emitida.

A menor variação de energia possível corresponde à transição 1 , sendo a frequência igual a:

f = h 2 8 m L 2 ∙ 1 h = h 8 m L 2

Ou seja, f = 1   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Passo 5

Letra c)

A segunda menor variação de energia corresponde à transição 5 :

f = h 2 8 m L 2 ∙ 2 h = h 8 m L 2 ∙ 2

Temos f = 2   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Passo 6

Letra d)

A terceira menor variação de energia corresponde às transições 2 , 8 e 10 :

f = h 2 8 m L 2 ∙ 3 h = h 8 m L 2 ∙ 3

Temos f = 3   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Passo 7

Letra e)

A maior variação de energia corresponde à transição 4:

f = h 2 8 m L 2 ∙ 9 h = h 8 m L 2 ∙ 9

Temos f = 9   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Passo 8

Letra f)

A segunda maior variação de energia corresponde à transição 7:

f = h 2 8 m L 2 ∙ 8 h = h 8 m L 2 ∙ 8

Temos f = 8   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Passo 9

Letra g)

A terceira maior variação de energia corresponde às transições 3 e 9:

f = h 2 8 m L 2 ∙ 6 h = h 8 m L 2 ∙ 6

Temos f = 6   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Resposta

Letra a)

O elétron é capaz de emitir ou absorver 7 frequências possíveis.

Letra b)

f = 1   u

Letra c)

f = 2   u

Letra d)

f = 3   u

Letra e)

f = 9   u

Letra f)

f = 8   u

Letra g)

f = 6   u

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