Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa – 2D e 3D

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 242-27, modificado

Um elétron (cuja massa é Equation ) está confinado em uma caixa cúbica de dimensões Equation .

  1. Quantas frequências diferentes o elétron é capaz de emitir ou absorver ao sofrer uma transição entre dois níveis que estão entre os cinco de menor energia?
  2. Que múltiplo de Equation corresponde:

  3. À menor frequência?
  4. À segunda menor frequência?
  5. À terceira menor frequência?
  6. À maior frequência?
  7. À segunda maior frequência?
  8. À terceira maior frequência?

Passo 1

Letra a)

Quando o elétron sai de um nível de energia Equation para um nível de energia Equation de menor energia, ele emite um fóton cuja energia é dada por:

Equation

Onde Equation é a frequência do fóton. Isso significa que para cada Equation corresponde uma única frequência, e vice versa.

Se a transição entre os níveis Equation e Equation e entre os níveis Equation e Equation forem tais que:

Equation

Então ambos emitem luz com a mesma frequência.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A energia de um dado nível do elétron em uma caixa cúbica é dada por:

Equation

Considerando que Equation , temos:

Equation

E podemos avaliar quais são os cinco níveis de menor energia.

Esses cinco níveis correspondem a:

Equation

Cujas energias em múltiplos de Equation são:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Todos estes estados foram encontrados por tentativa e erro, mas avaliar todos os estados com mesma energia que eles é muito trabalhoso. Assim, se você verificar que algum estado tem uma dessas energias acima, este estado será equivalente aos que usamos.

Passo 3

Cada frequência possível corresponde a uma transição de um nível de maior energia para um nível de menor energia.

As transições possíveis são:

Equation

Equation

Equation

Equation

Que são Equation transições no total. Contudo, algumas transições correspondem a um mesmo Equation , emitindo luz em uma mesma frequência. A variação de energia de todas as transições é (tudo em múltiplos de Equation ):

Equation

Equation

Equation

Equation

Onde numeramos as transições anteriores de Equation a Equation da esquerda para a direita e de cima para baixo.

Temos então apenas Equation frequências possíveis correspondentes a:

Equation

Passo 4

Letra b)

Da discussão anterior, temos que:

Equation

Ou seja, quanto menor a variação de energia, menor a frequência emitida.

A menor variação de energia possível corresponde à transição Equation , sendo a frequência igual a:

Equation

Ou seja, Equation em múltiplos de Equation ( Equation é a unidade correspondente).

Passo 5

Letra c)

A segunda menor variação de energia corresponde à transição Equation :

Equation

Temos Equation em múltiplos de Equation ( Equation é a unidade correspondente).

Passo 6

Letra d)

A terceira menor variação de energia corresponde às transições Equation , Equation e Equation :

Equation

Temos Equation em múltiplos de Equation ( Equation é a unidade correspondente).

Passo 7

Letra e)

A maior variação de energia corresponde à transição 4:

Equation

Temos Equation em múltiplos de Equation ( Equation é a unidade correspondente).

Passo 8

Letra f)

A segunda maior variação de energia corresponde à transição 7:

Equation

Temos Equation em múltiplos de Equation ( Equation é a unidade correspondente).

Passo 9

Letra g)

A terceira maior variação de energia corresponde às transições 3 e 9:

Equation

Temos Equation em múltiplos de Equation ( Equation é a unidade correspondente).

Resposta

Letra a)

O elétron é capaz de emitir ou absorver Equation frequências possíveis.

Letra b)

Equation

Letra c)

Equation

Letra d)

Equation

Letra e)

Equation

Letra f)

Equation

Letra g)

Equation

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