Enunciado

Determine a tensão de cisalhamento máxima em um eixo de seção transversal cheia, de 38   m m de diâmetro, quando ele transmite 75   h p a uma velocidade de a   750   r p m e b   1500   r p m .

Dica do Expert: 1   h p = 745,7   W = 745,7   N * m / s .

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo tem um diâmetro d = 38   m m e, consequentemente um raio c = d / 2 = 19   m m .

Além disso, ele é maciço, e, dessa forma, possui um momento de inércia polar J dado pela fórmula:

J = π 2 c 4

E, além disso, ele transmite uma potência P = 75   h p com duas frequências: f = 750   r p m na letra ( a ) e f = 1500   r p m na letra ( b ) .

Sendo que essa transmissão de potência se dá através de um torque T que pode ser calculado pela fórmula:

T = P 2 π f

Mas antes de podermos calcular o torque utilizando essa fórmula, precisamos converter a potência P e a frequência f para unidades do SI (sistema internacional).

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no eixo em cada caso, que vai ser dada pela fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Então resolver esse exercício é uma questão de:

  • Converter a potência P e a frequência f para unidades do SI;
  • Substituir as fórmulas do momento polar de inércia J e do torque T na fórmula da torção acima;
  • E calcular o valor de τ m á x para cada caso.

Passo 2

Então vamos começar pela conversão da potência P e da frequência f para unidades do SI.

Para a potência P , temos que:

P = 75   h p

E que 1   h p = 745,7   W , o que significa que:

P = 75 * 745,7   W = 55927,5   W

Já para a frequência f , temos que:

No item  a   f = 750   r p m

&

No item  b   f = 1500   r p m

E que 1   r p m = 1 / 60   rotações por segundo = 1 / 60   H z ou s - 1 , de tal forma que:

No item  a   f = 750 ∙ 1 60 s - 1 = 12,5   s - 1

&

No item  b   f = 1500 ∙ 1 60 s - 1 = 25   s - 1

Passo 3

Transformadas as unidades de P e f , já podemos seguir para o cálculo de τ m á x .

Para tanto, aplicamos a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

No nosso caso, temos que T = P / 2 π f e que J = π / 2 c 4 , então:

τ m á x = P 2 π f c π 2 c 4

Simplificando tudo, isso fica assim:

τ m á x = P π 2 f c 3       (Equação 1)

Passo 4

Encontrada uma expressão para τ m á x , o último passo é calcular o seu valor nos itens ( a ) e ( b ) .

Para o item ( a ) , temos que:

  • P = 55927,5   W = 55927,5   N * m / s = 55927,5 * 10 3   N * m m / s ;
  • f = 12,5   s - 1 ;
  • & c = 19   m m .

Substituindo esses valores na Equação 1, encontramos que:

τ m á x = 55927,5 * 10 3   N * m m / s π 2 12,5   s - 1 19   m m 3

O que dá:

τ m á x ≅ 66,1   N / m m 2

O que é o mesmo que:

τ m á x ≅ 66,1   M P a

Já para o item ( b ) , temos:

  • P = 55927,5 * 10 3   N * m m / s ;
  • f = 25   s - 1 ;
  • & c = 19   m m .

Substituindo esses valores na Equação 1, encontramos que:

τ m á x = 55927,5 * 10 3   N * m m / s π 2 25   s - 1 19   m m 3

O que dá:

τ m á x ≅ 33,0   M P a

Resposta

a   τ m á x ≅ 66,1   M P a

&

b   τ m á x ≅ 33,0   M P a

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