Enunciado

O projeto prevê que o eixo de transmissão A B de um automóvel será um tubo de parede fina. O motor transmite 125   k W quando o eixo está girando a 1500   r e v / m i n u t o . Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 62,5   m m . A tensão de cisalhamento admissível do material é τ a d m = 50   M P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo tem um diâmetro externo d = 62,5   m m , e, consequentemente um raio externo c = d / 2 = 31,25   m m .

Além disso ele não é maciço.

Ao invés disso, ele é feito de uma parede fina de espessura e , de tal forma que ele possui um raio interno c i n t = c - e :

O eixo transmite uma potência P = 125   k W a uma frequência f = 1500   r e v / m i n u t o , de tal forma que ele tem que suportar um torque T :

T = P 2 π f

E, por fim, o material do eixo possui uma tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 50   M P a .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a espessura e mínima da parede do eixo para que o torque T transmitido não gere nele uma tensão de cisalhamento máxima τ m á x maior que a admissível:

τ m á x ≤ τ a d m

Sendo que essa tensão τ m á x pode ser expressa pela fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Onde J é o momento polar de inércia do eixo e é dado pela fórmula abaixo para um eixo de seção vazada com raio externo c e raio interno c i n t :

J = π 2 c 4 - c i n t 4

Passo 2

Antes de qualquer coisa, vamos converter as unidades da frequência f para o sistema internacional.

Do enunciado, temos que:

f = 1500   r e v / m i n u t o

Mas como 1   m i n u t o = 60   s , temos que:

f = 1500   r e v 60   s

O que significa que:

f = 25   H z = 25   s - 1

Passo 3

Agora sim, já temos tudo o que precisamos para pegar a condição de projeto τ m á x ≤ τ a d m e desenvolvê-la até encontrar a espessura e mínima necessária para a parede do eixo.

Aplicando a condição de projeto, temos:

τ m á x ≤ τ a d m

E em seguida, aplicando a fórmula da torção, temos que:

T c J ≤ τ a d m

Substituindo a fórmula do momento polar de inércia J para um eixo vazado e a fórmula do torque T = P / 2 π f , isso fica assim:

P 2 π f c π 2 c 4 - c i n t 4 ≤ τ a d m

Arrumando tudo, temos que:

P c π 2 f c 4 - c i n t 4 ≤ τ a d m

Aqui, percebemos a necessidade de uma mudança de planos. 🤔

A ideia era substituir c i n t = c - e e isolar a espessura e para encontrar seu valor mínimo.

Mas com a existência da potência 4 no raio interno c i n t , fazer isso seria muito complicado.

Então vamos aceitar só encontrar o raio interno c i n t máximo possível por enquanto.

Daí, com o valor que encontrarmos, vamos usar que e = c - c i n t para calcular a espessura mínima necessária para o nosso eixo!

Passo 4

Partir isolar c i n t então para encontrar seu valor máximo possível!

Para tanto, começamos passando o termo c 4 - c i n t 4 para a direita:

P c π 2 f ≤ τ a d m c 4 - c i n t 4

E, em seguida, passamos τ a d m para a esquerda:

P c π 2 f τ a d m ≤ ( c 4 - c i n t 4 )

Finalmente, isolamos c i n t 4 :

c i n t 4 ≤ c 4 - P c π 2 f τ a d m

Para encontrarmos que o valor máximo possível para c i n t é:

c i n t = c 4 - P c π 2 f τ a d m 4

Substituindo nessa expressão:

  • c = 31,25   m m ;
  • P = 125   k W = 125   k N ∙ m / s = 125 * 10 6   N ∙ m m / s ;
  • f = 25   s - 1
  • & τ a d m = 50   M P a = 50   N / m m 2 ,

Encontramos que:

c i n t = 31,25   m m 4 - 125 * 10 6   N m m s 31,25   m m π 2 25 1 s 50 N m m 2 4

O que dá:

c i n t = 28,252   m m

Passo 5

Agora que temos o máximo valor possível para c i n t , podemos encontrar o valor mínimo necessário para e .

Aplicando que:

c i n t = c - e

Isolando e :

e = c - c i n t

E substituindo:

  • c = 31,25   m m ;
  • & c i n t = 28,252   m m ,

Encontramos que:

e = 31,25   m m - ( 28,252   m m )

O que dá a nossa resposta:

Resposta

e = 2,998   m m

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