Exercícios Resolvidos de Potência e Torque

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Enunciado

Um torque de intensidade T = 120   N * m é aplicado ao eixo A B do trem de engrenagem mostrado. Sabendo que a tensão de cisalhamento é de 75   M P a em cada um dos três eixos sólidos, determine o diâmetro necessário para ( a ) o eixo A B , ( b ) o eixo C D e ( c ) o eixo E F .

Passo 1

O que está acontecendo?

Os eixos A B , C D e E F são maciços, possuindo:

  • diâmetros d A B , d C D e d E F ;
  • E, consequentemente, raios c = d / 2 .

Já as engrenagens B , C , D , e E possuem raios r B = 25   m m , r C = 60   m m , r D = 30   m m e r E = 75   m m , respectivamente.

E um torque T = 120   N * m é aplicado ao eixo A B .

Para descobrir o torque que é gerado nos demais eixos, é preciso perceber que o torque em uma engrenagem é igual à força que é aplicada nos dentes dela vezes o raio dela:

Assim, é possível dizer que:

F = T r

E pelo princípio da ação e reação, é possível dizer que as forças que uma engrenagem faz na outra são iguais, de tal forma que, para as engrenagens B e C , por exemplo:

F B C = T B r B = T C r C

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o diâmetro d de cada um dos eixos para que a tensão máxima de cisalhamento neles τ m á x = T c / J seja igual à 75   M P a .

Para resolver o exercício, vamos primeiro encontrar o torque aplicado em cada engrenagem e em cada eixo.

Em seguida, vamos poder definir a tensão máxima de cisalhamento τ m á x = T c / J em cada eixo e descobrir o diâmetro d necessário para cada eixo para que τ m á x = 75   M P a .

Passo 2

Então vamos começar encontrando o torque em cada engrenagem e em cada eixo do problema.

Primeiro, para o eixo A B , que gira junto com a engrenagem B , sabemos que é aplicado nele um torque T , de tal forma que:

T A B = T B = T

Agora, devido às forças exercidas entre as engrenagens B e C , temos que:

F B C = T B r B = T C r C

O que significa que:

T C = r C r B T B

Substituindo T B = T , r c = 60   m m e r B = 25   m m , isso nos diz que:

T C = 60 25 T = 2,4 T

Assim, para o eixo C D , temos que:

T C D = T C = T D = 2,4 T

E devido às forças exercidas entre as engrenagens D e E , temos que:

F D E = T D r D = T E r E

O que significa que:

T E = r E r D T D

E substituindo T D = 2,4 T , r E = 75   m m e r D = 30   m m , isso nos diz que:

T E = 75 30 2,4 T = 6 T

E assim, para o eixo E F , temos que:

T E F = T E = 6 T

Passo 3

Agora, podemos definir a tensão máxima de cisalhamento τ m á x para cada eixo.

Primeiro, sabemos que τ m á x vai ser dada pela fórmula da torção:

τ m á x = T c J

E também sabemos que todos os eixos são maciços, de tal forma que J = π / 2 c 4 .

Sendo assim, temos que:

τ m á x = T c π 2 c 4

Simplificando, isso fica assim:

τ m á x = 2 T π c 3

E, como, em todos os casos, estamos querendo descobrir o diâmetro d dos eixos, e não os raios c , podemos fazer a substituição c = d / 2 :

τ m á x = 2 T π d 2 3

E arrumando tudo, isso fica assim:

τ m á x = 16 T π d 3

Ainda podemos isolar o diâmetro d dos eixos nessa equação para encontrar que:

d = 16 T π τ m á x 3

Agora, só falta aplicar a equação acima para cada eixo e substituir sempre τ m á x = 75   M P a .

Passo 4

Começando pelo eixo A B , para resolver o item ( a ) , temos que:

d A B = 16 T A B π τ m á x 3

Substituindo:

  • T A B = T = 120   N * m = 120 * 10 3   N * m m ;
  • & τ m á x = 75   M P a = 75   N / m m 2 ,
  • Encontramos que:

    a   d A B = 20,1   m m

    Seguindo com o eixo C D , para resolver o item ( b ) , temos que:

    d C D = 16 T C D π τ m á x 3

    Substituindo:

  • T C D = 2,4 T = 2,4 120   N * m = 2,4 120 * 10 3   N * m m ;
  • & τ m á x = 75   M P a = 75   N / m m 2 ,
  • Encontramos que:

    b   d C D = 26,9   m m

    E finalizando com o eixo E F , para resolver o item ( c ) , temos que:

    d E F = 16 T E F π τ m á x 3

    Substituindo:

  • T E F = 6 T = 6 120   N * m = 6 120 * 10 3   N * m m ;
  • & τ m á x = 75   M P a = 75   N / m m 2 ,

Encontramos que:

c   d C D = 36,6   m m

Resposta

a   20,1   m m

b   26,9   m m

&

c = 36,6   m m

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