Exercícios Resolvidos de Potência e Torque

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Enunciado

O motor transmite um torque de 50   N * m ao eixo A B . Esse torque é transmitido ao eixo C D pelas engrenagens em E e F . Determine o torque de equilíbrio T ’ no eixo C D e a tensão de cisalhamento máxima em cada eixo. Os mancais B , C e D permitem a livre rotação dos eixos.

Passo 1

O que está acontecendo?

O motor transmite um torque T = 50   N * m ao eixo A B , que é maciço e possui um diâmetro d A B = 30   m m , e, consequentemente, um raio c A B = d A B / 2 = 15   m m .

Já o eixo C D também é maciço, mas possui um diâmetro d C D = 35   m m , e, consequentemente, um raio c C D = d C D / 2 = 17,5   m m .

E as engrenagens E e F possuem raios r E = 50   m m e r F = 125   m m .

Para saber torque que é gerado no eixo C D , é preciso perceber que o torque em uma engrenagem é igual à força que é aplicada nos dentes dela vezes o raio dela:

Assim, podemos dizer que:

F = T r

E pelo princípio da ação e reação, é possível dizer que as forças que uma engrenagem faz na outra são iguais, de tal forma que, para as engrenagens E e F , temos que:

F E F = T E r E = T F r F

Mas a engrenagem E faz parte do eixo A B , que gira com o torque T , de tal forma que T E = T A B = T .

E a engrenagem F faz parte do eixo C D , que gira com um torque T ' desconhecido, de tal forma que T F = T C D = T ' .

Dessa forma, temos que:

F E F = T r E = T ' r F

O que significa que:

T ' = r F r E T

E o que é que o exercício quer?

Primeiro, ele quer que a gente encontre o torque de equilíbrio T ' no eixo C D , que pode ser encontrado através da equação acima.

Depois, ele quer que saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x em cada eixo, que pode ser encontrada aplicando a fórmula da torção abaixo para o eixo A B e para o eixo C D :

τ m á x = T c J

Passo 2

Então vamos começar encontrando o torque de equilíbrio T ' no eixo C D pela relação de engrenamento:

T ' = r F r E T

Substituindo:

  • r F = 125   m m ;
  • r E = 50   m m ;
  • & T = 50   N * m ,

Encontramos que:

T ' = 125   m m 50   m m ( 50   N * m )

O que dá:

T ' = 125   N * m

Passo 3

Agora, vamos calcular as tensões de cisalhamento máxima τ m á x em cada eixo.

Aplicando a fórmula da torção para o eixo A B , que está submetido a uma torção T , temos:

τ m á x A B = T c A B J A B

Como o eixo é maciço, seu momento polar de inércia J vai ser dado pela fórmula π / 2 c 4 .

Dessa forma, temos que:

τ m á x A B = T c A B π 2 c A B 4

Simplificando, isso fica assim:

τ m á x A B = 2 T π c A B 3

Finalmente, substituindo:

  • T = 50   N * m = 50000   N * m m ;
  • & c A B = 15   m m ,
  • Encontramos que:

    τ m á x A B = 9,43   N / m m 2

    E, como N / m m 2 é o mesmo que M P a , isso significa que:

    τ m á x A B = 9,43   M P a

    Já aplicando a fórmula da torção para o eixo C D , que está submetido a um torque T ' , temos:

    τ m á x C D = T ' c C D J C D

    Mais uma vez, o eixo é maciço, então seu momento polar de inércia J vai ser dado pela fórmula π / 2 c 4 :

    τ m á x C D = T ' c C D π 2 c C D 4

    Simplificando, temos:

    τ m á x C D = 2 T ' π c C D 3

    Por fim, substituindo:

  • T ' = 125   N * m = 125000   N * m m ;
  • & c A B = 17,5   m m ,

Encontramos que:

τ m á x C D = 14,8   M P a

Resposta

T ' = 125   N * m ,

τ m á x A B = 9,43   M P a ,

&

τ m á x C D = 14,8   M P a .

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