Exercícios Resolvidos de Princípios da Interferência

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Enunciado

Uma onda plana de comprimento de onda λ incide sobre a superfície de um cristal, mostrado em corte transversal na figura. Deduza a relação que deve haver entre λ , θ e d para que os raios 1 e 2 mostrados na figura interfiram construtivamente (fórmula de Bragg-Williams).

Passo 1

Antes de mais nada, não se assuste com nomes que possam ser estranhos no enunciado!

Vamos apenas fazer nossa missão com coragem: achar diferença de fase, e igualar a 2 m π (interferência construtiva).

Primeiro, vamos entender o desenho. Um cristal é formado por várias moléculas (ou átomos) juntos de forma bem bonitinha, parece até soldados do exército em uma formatura. Olha só o sal de cozinha:

O raio 1 reflete nos soldados (moléculas) da parte mais externa, enquanto que o raio 2 acaba errando a mira e reflete na segunda camada de soldados (moléculas).

Se a reflexão causar diferença de fase, ela causa nos dois raios igualmente, e não afeta nada.

Então, só sobra diferença de fase causada pela diferença de caminho. Vamos achá-la soldado!

Passo 2

Agora é geometria.

A não ser por s 1 e s 2 , a distância percorrida pelos raios é igual (nota que eles são paralelos e a partir das linhas tracejadas, saem “da mesma altura”).

Logo, a diferença de caminho vai ser Δ s = s 1 + s 2 e a diferença de fase em radianos fica:

Δ φ = s 1 + s 2 λ ⋅ 2 π

Precisamos então deduzir quem é s 1 e quem é s 2 .

Passo 3

Para achar s 1 e s 2 , vou desenhar mais algumas coisas aqui:

Nota que com as moléculas e com s 1 e com s 2 , conseguimos montar dois triângulos.

O quadrado representa um ângulo de 90 ° .

Podemos também achar os ângulos internos dos triângulos em função de θ . Considerando que, ao refletir, os raios fazem o mesmo ângulo com os planos do cristal que o ângulo incidente, temos:

Com os triângulos retângulos, podemos então observar que:

s 1 = s 2 = s

sen ⁡ θ = s d

s = d sen ⁡ θ

Substituindo na diferença de fase:

Δ φ = s 1 + s 2 λ ⋅ 2 π = 2 d sen ⁡ θ λ ⋅ 2 π  

Igualando à condição de interferência construtiva:

2 m π = Δ ϕ = 2 d sen ⁡ θ λ ⋅ 2 π  

2 d sen ⁡ θ λ = m

2 d sen ⁡ θ = m λ ; m = 1 ,   2 ,   3 , …

Resposta

2 d sen ⁡ θ = m λ ; m = 1 ,   2 ,   3 , …

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