Exercícios Resolvidos de Princípios da Interferência

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Enunciado

Ondas longas de rádio, com comprimento de onda λ , de uma estação radioemissora E podem chegar a um receptor R por dois caminhos diferentes.

Um deles é uma trajetória retilínea do emissor até o receptor, a uma distância L .

O segundo envolve uma reflexão na ionosfera (camada de moléculas de ar ionizadas, quase no topo da atmosfera) que está a uma altura H da superfície da Terra.

Admita que a reflexão ocorra num ponto a meio caminho do emissor e do receptor e que a onda sofra uma mudança de fase de π radianos ao ser refletida pela ionosfera.

  1. Que condições devem ser obedecidas entre H , L e λ para que haja uma interferência destrutiva entre o feixe direto e o feixe refletido?
  2. A ionosfera começa a uma altura de aproximadamente 90   k m . Se a frequência do emissor é igual a 50   k H z e a distância L entre a estação e o receptor é igual a 240   k m mostre que nenhum sinal é recebido pelo receptor.

Dado: Velocidade da luz c = 300   000   k m / s

Passo 1

Letra a)

A diferença de fase por diferença de caminho é dada por:

Δ ϕ c a m i n h o = r 2 - r 1 λ ∙ 2 π

Mas além dessa diferença de fase, temos uma diferença de fase por reflexão:

Δ ϕ r e f l e x ã o = π = 1 2 ∙ 2 π

A diferença de fase total é a soma das duas:

Δ ϕ = r 2 - r 1 λ ∙ 2 π + 1 2 ∙ 2 π = r 2 - r 1 λ + 1 2 ∙ 2 π

Para que a interferência seja destrutiva:

Δ ϕ = 2 m + 1 π

Substituindo:

m = r 2 - r 1 λ

m = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Precisamos então achar a diferença entre os dois caminhos.

Passo 2

Para achar a diferença entre os caminhos, temos um problema de geometria. O caminho da luz que não reflete na ionosfera é:

r 1 = L

Para aquele que reflete, nós temos o caminho que ele faz até a ionosfera e depois o caminho que ele faz da ionosfera até o receptor. Esses dois caminhos tem igual magnitude e, para encontrá-los, podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo.

d 2 = L 2 2 + H 2 →     d = L 2 2 + H 2

Então:

r 2 = 2 d = 2 L 2 2 + H 2

r 2 - r 1 = 2 L 2 2 + H 2 - L

Logo, para termos interferência destrutiva:

m = 1 λ 2 L 2 2 + H 2 - L

Passo 3

Letra b)

Primeiro, encontremos o comprimento de onda deste sinal.

λ f = c →     λ = c / f

Substituindo:

  • c = 3 ∙ 10 8   m / s  
  • f = 50   k H z = 50 ∙ 10 3   H z

λ = 3 ∙ 10 8 5 ∙ 10 4 = 6 ∙ 10 3   m

Vamos testar a condição de interferência destrutiva:

  • H = 90   k m = 90 ∙ 10 3   m
  • L = 240   k m = 240 ∙ 10 3   m

1 λ 2 L 2 2 + H 2 - L = 1 6 ∙ 10 3 2 240 ∙ 10 3 2 2 + 90 ∙ 10 3 2 - 240 ∙ 10 3 =

= 1 6 ∙ 10 3 2 120 2 ∙ 10 6 + 90 2 ∙ 10 6 - 240 ∙ 10 3 =

= 1 6 ∙ 10 3 2 ∙ 150 ∙ 10 3 - 240 ∙ 10 3 = 60 ∙ 10 3 6 ∙ 10 3 = 10

Como essa equação resulta em um número inteiro, então temos uma interferência destrutiva.

Resposta

Letra a)

m = 1 λ 2 L 2 2 + H 2 - L

Letra b)

1 λ 2 L 2 2 + H 2 - L = 10

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