1º, 2º e 3º Quartil e Distância Interquartil

Resumo Completo

Quartis

Meu amigo, você já aprendeu o que são medidas de dispersão. Agora, está na hora de eu te apresentar uma medida de dispersão muito importante (tão importante que eu até deixei separado!), chamada: distância interquartil.

Antes de vermos a distância entre quartis, vamos ver quem são esses benditos quartis.

Q 1 , ou 1º quartil, é o valor da posição central entre o primeiro termo e a mediana. Ele serve para marcarmos que, até o seu valor, temos 25% dos nossos dados.

Vamos supor que só tenham 7 guerreiros na sua turma de ProBest, e as notas deles na P1 tenham sido as seguintes:

6.0 ,   7.5 ,   6.3 ,   7.7 ,   5.5 ,   8.0 ,   8.5

Vamos lá: pra encontrar o Q 1 , a primeira coisa é identificar a mediana, certo?

NÃO! Assim como nas outras medidas de dispersão, o primeiro passo é sempre colocar os dados em ordem crescente! Haha

5.5 ,   6.0 ,   6.3 ,   7.5 ,   7.7 ,   8.0 ,   8.5

Agora beleza, vamos marcar a mediana:

Agora, quem é o cara que está entre o primeiro termo e a mediana?

Não temos exatamente um carinha no meio, mas sim esses dois aí. Nesse caso, vamos fazer a mesma coisa que fazíamos na mediana: tirar a média entre eles!

Para um caso geral, com n dados, tipo:

x 1 , x 2 , x 3 , , x n

O 1º quartil é encontrado na posição n + 3 4 .

Q 2 , ou segundo quartil, representa a mediana (sim, você já até conhecia ele!), o valor na posição central. Até o seu valor, temos 50% dos nossos dados.

No nosso exemplo ali em cima, nós já acabamos encontrando o Q 2 ! Haha

E, por fim, o Q 3 é o valor da posição central entre a mediana e o último termo. Até seu valor, temos 75% dos nossos dados.

Para um caso geral, com n dados, tipo:

x 1 , x 2 , x 3 , , x n

O 3º quartil é encontrado na posição 3 n + 1 4 .

Interpolação

Em certos casos, quando utilizarmos as fórmulas para encontrar as posições dos nossos 1ª ou 3º quartis, teremos valores quebrados.

Nesses casos, faremos o que chamamos de interpolação, que nada mais é do que uma média ponderada.

Exemplo:

Se encontrarmos o valor 15,75 , isso quer dizer que nosso dado está entre as posições 15 e 16 . Porém, ele está mais próximo do valor 16 . Faremos então a seguinte média ponderada:

0,25 x 15 + 0,75 x 16

Beleza? É só você colocar mais peso para o valor que ele está mais próximo!

Distância Interquartil

Quando seu professor pedir pra você calcular a distância interquartil, vai sem medo! A fórmula é tranquila, é essa aqui:

D I Q = Q 3 - Q 1

De boa até aqui?!

Vamos voltar ao exemplo dos alunos da UFRJ, só que agora aplicando as coisas que você aprendeu aqui, beleza?

Em uma turma de Cálculo da UFRJ temos alunos das seguintes idades:

Nosso n , ou quantidade de termos, é o seguinte:

n = 64

PARE! Antes de partir pro cálculo dos quartis, coloque seus dados em ordem crescente! Isso é muito importante, não esquece.

Fez isso? Vamos lá!

Então, como n é par, Q 2 é a média entre os valores centrais, no caso:

Q 2 = x ( 32 ) + x ( 33 ) 2 = 19 + 19 2 = 19   a n o s

Pra encontrar Q 1 a gente faz:

n + 3 4 = 67 4 = 16,75

Isso quer dizer que Q 1 vai estar entre os da posição 16 e 17, fazendo a interpolação:

Q 1 = 0,25 . x 16 + 0,75 . x 17 = 0,25 × 18 + 0,75 × 18 = 18   a n o s

Pra Q 3 :

3 n + 1 4 = 193 4 = 48,25

Q 3 vai ser a interpolação entre os valores da posição 48 e 49 :

Q 3 = 0,75 . x 48 + 0,25 . x 49 = 0,75 × 21 + 0,25 × 21 = 21   a n o s

A distância interquartil seria então:

D I Q = 21 - 18 = 3   a n o s

Isso quer dizer que aproximadamente metade dos alunos tem idade entre 18 e 21 anos, aproximadamente um quarto deles tem idade menor que 18 anos e um quarto maior que 21 anos.

Propriedades

Vou anexar aqui agora umas propriedades que podem facilitar sua vida em algumas situações, quando você relacionar 2 variáveis, relembrando:

Se Y = c X :

Q i Y = c Q i X

D I Q Y = c D I Q ( X )

Se Y = c + X :

Q i Y = c + Q i ( X )

D I Q Y = D I Q ( X )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 381-06.

A tabela de dados brutos a seguir reporta, o número de linhas telefônicas por 1000 habitantes em cada estado do Brasil, em 2001.

b) Determine os seus quartis

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, a primeira coisa que devemos fazer para determinar os quartis é colocar nossos dados em ordem crescente:

Q 2 = m e d i a n a = 19 3,3

Passo 2

Temos que n = 27 .

  • Para encontrar Q1 faremos:
  • n + 3 4 = 27 + 3 4 = 30 4 = 7,5

    Isso quer dizer que Q1 vai estar entre a posição 7 e a posição 8, fazendo a interpolação:

    Q 1 = 0,5 × x 7 + 0,5 × x 8 = 0,5 × 140,0 + 0,5 × 14 0 , 7 = 14 0 , 35

    Passo 3

  • Para encontrar Q3 faremos:

3 n + 1 4 = 3 × 27 + 1 4 = 82 4 = 20,5

Isso quer dizer que Q3 vai estar entre a posição 20 e a posição 21. Fazendo a interpolação:

Q 3 = 0,5 × x 20 + 0,5 × x 21 = 0,5 × 23 1 , 4 + 0,5 × 235 , 3 = 233 , 3 5

Resposta

Q 2 = 19 3 , 3

Q 1 = 140,35

Q 3 = 233,35

Exercício Resolvido #2

Enunciado

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 381-04.

Um determinado fabricante produz implantes mamários utilizando gel de silicone. Os dados a seguir se referem a tensão de ruptura desses implantes e foram obtidos através de testes físicos realizados com uma amostra de tamanho n=20:

Com base nesses dados obtenha os quartis Q1,Q2 e Q3.

Foi apresentada a seguinte solução:

Posição (Q2)= 1 + 20 2 = 10,5   Q 2 = 1 2 × 77,2 + 1 2 × 65,1 = 71,15

Posição (Q1) = 1 + 10,5 2 = 5,75 Q 1 = 1 4 × 70,9 + 3 4 × 72,1 = 71,8

Posição (Q3) = 10,5 + 20 2 = 15,25 Q 3 = 3 4 × 70,6 + 1 4 × 70,3 = 70,525

a) Algo está errado nessa solução. O que é?

b) Qual a solução correta?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a) E aí? Está errada a solução? Sim!

Está errada pois ele esqueceu de ordenar em ordem crescente! Esse é o primeiro passo, depois isso as coisas desandaram.

Passo 2

Vamos colocar na ordem crescente e calcular os quartis.

Passo 3

Agora vamos calcular os quartis.

- Q2

Sabemos que Q2 é a mediana, neste caso como temos um total par de números

Q 2 = 70,9 + 70,6 2 = 70 , 75

Passo 4

- Q1

Temos um total de 20 posições, portanto n = 20

Faremos

n + 3 4 = 20 + 3 4 = 23 4 = 5,75

Portanto o Q1 está entre a posição 5 e 6.

Fazendo a interpolação

65,1 × 0,25 + 66,5 × 0,75 = 66,15

Q 1 = 66,15

Passo 5

- Q3

Para o cálculo de Q3 faremos primeiro

3 n + 1 4 = 3.20 + 1 4 = 61 4 = 15,25

Isso quer dizer que Q3 está entre o 15 e o 16.

Fazendo a interpolação

74,9 × 0,75 + 75,1 × 0,25 = 74,95

Resposta

Q 2 = 70 , 7 5

Q 1 = 66,15

Q 3 = 74,95

Exercício Resolvido #3

Enunciado

UFRJ, ProbEst, P2/2013.2, 1

Dado um conjunto de pares ( x i ,   y i ) , i variando de 1 até n .

  1. Que relação existe entre as médias das variáveis X e Y = a + X , onde " a " é uma constante (isto é, y i = a + x i )? E entre as variâncias de X e Y ? E entre as distâncias interquartis (DIQ) de X e Y ? Qual o coeficiente de correlação de X e Y ?
  2. Responda as mesmas quatro perguntas do item (a) se Y = b X , onde " b " é uma constante positiva.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

(a)

Bom, temos que Y = a + X , estamos somando uma constante a . Pensa comigo para medidas como média, quartis e tals a relação entra X e Y vai ser só somar a constante a também, concorda? Se a média de X é um valor, a média de Y vai ser essa valor mais a constante.

y ¯ = a + x ¯

Q 1 Y = Q 1 X + a

Q 2 Y = Q 2 X + a

Q 3 Y = Q 3 X + a

Mas quando a gente for fazer o DIQ, a gente vai subtrair Q3 de Q1 e a constante a vai sumir, então:

D I Q Y = D I Q ( X )

Já a variancia, assim como o coeficiente de correlação não são afetados pela soma de uma constante, confia em mim.

s 2 Y = s ² ( X )

E:

r x y = 1

Passo 2

(b)

Agora é outra história, estamos multiplicando X por uma constante b .

Medidas como média e quartis vão manter a mesma proporção, é só multiplicar por b .

y ¯ = b . x ¯

Q 1 Y = b . Q 1 X

Q 2 Y = b . Q 2 X

Q 3 Y = b . Q 3 X

Com relação ao D I Q também manterá a mesma relação quando diminuir Q 3 de Q 1 .

D I Q Y = b . D I Q ( X )

Se você lembrar das propriedades da variância vai se ligar que:

s 2 Y = b 2 . s 2 X

Quando multiplicamos uma variável por uma constante, também não alteramos a correlação, que continuará sendo 1.

r x y = 1

Resposta

a

y ¯ = a + x ¯

Q 1 Y = Q 1 X + a

Q 2 Y = Q 2 X + a

Q 3 Y = Q 3 X + a

D I Q Y = D I Q ( X )

s 2 Y = s ² ( X )

r x y = 1

b

y ¯ = b . x ¯

Q 1 Y = b . Q 1 X

Q 2 Y = b . Q 2 X

Q 3 Y = b . Q 3 X

D I Q Y = b . D I Q ( X )

s 2 Y = b 2 . s 2 X

r x y = 1

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração Própria

Considere novamente as notas dos 50 alunos, reproduzidas na Tabela 3.10. Calcule o intervalo interquartil das notas.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro temos que colocar esses dados em ordem, mas como tem muiiito dado pra gente reescrever, vamos usar aquele conceito de frequência para representá-los:

Nós escrevemos todos os valores de notas que aparecem nos dados ( 1 ,   2 ,   3 10 ) e ao lado representamos a frequência simples de cada um, ou seja, quantas vezes cada um aparece. A última coluna, de frequência é simplesmente a frequência simples do x i analisado somada a todas as frequências simples anteriores.

Ok, voltando a questão, para calcular a distância interquartil temos que lembrar que:

D I Q = Q 3 - Q 1

Vamos começar calculando Q 3 , nosso terceiro quartil. Ele deve estar na posição:

P o s Q 3 = 3 n + 1 4

Onde n é o número total de dados. No nosso caso n = 50 :

P o s Q 3 = 3 × 50 + 1 4 = 37,75

Temos que fazer uma média ponderada entre o 37 º e o 38 º dado da tabela.

Olhando nossa tabela de freqüências, temos que procurar onde está o os dados 37 º e 38 º nas freqüências acumuladas.

Podemos observar que a frequência acumulada se torna 37 para x i = 7 , então quanto terminamos de contar todas as notas até o 7 temos 37 dados. Então o dado 37 vai ser 7 e 38 é o dado que temos imediatamente após o 7 , já que 37 é o último 7 , ou seja, o dado 38 º é o 8 .

Fazendo a média interpolada para 37,75 , estamos 0,75 mais perto do 38 º (que vale 8 )e 0,25 mais perto do 37 º (que vale 7 ), então:

Q 3 = 0,75 × 8 + 0,25 × 7 = 7,75

Mas repara comigo, nessa tabela a gente só tem números inteiros, o valor 7,75 nem existe nela. Então para tudo fazer mais sentido, vamos considerar que o terceiro quartil é isso aí arredondado mesmo:

Q 3 8

Passo 2

Agora o primeiro quartil, a posição dele é dada por:

P o s Q 1 = n + 3 4 = 50 + 3 4 = 13,25

Mas olhando na tabela vemos que tanto o 13 º como o 14 º dado valem 4 . Então de cara podemos afirmar que:

Q 1 = 4

Portanto nossa D I Q é:

D I Q = Q 3 - Q 1 = 8 - 4 = 4

Passo 3

Resposta

4

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