1º, 2º e 3º Quartil e Distância Interquartil

Teoria Completa

Quartis

Fala Aíí!! Belezinha? Imagina comigo a seguinte situação: Você está fazendo uma pesquisa e precisa dividir a população de forma que você consiga determinar a partir de qual valor (ou posição) temos a parte da população com maior renda.

Como podemos descobrir isso? Utilizaremos os famosos quartis.

Quartis são valores que dividem uma amostra de dados em quatro partes iguais. Algo desse tipo:

Beleza?! Com eles podemos rapidamente avaliar a dispersão e a tendência central de um conjunto de dados, que são etapas importantes na compreensão dos nossos dados.

Vamos ver como encontrar esses quartis???

Q 1 , ou 1º quartil, é o valor da posição central entre o primeiro termo e a mediana. Ele serve para marcarmos que, até o seu valor, temos 25% dos nossos dados.

Vamos supor que só tenham 7 guerreiros na sua turma de ProBest, e as notas deles na P1 tenham sido as seguintes:

6.0 ,   7.5 ,   6.3 ,   7.7 ,   5.5 ,   8.0 ,   8.5

Vamos lá: pra encontrar o Q 1 , a primeira coisa é identificar a mediana, certo?

NÃO! Assim como nas outras medidas de dispersão, o primeiro passo é sempre colocar os dados em ordem crescente! Haha

5.5 ,   6.0 ,   6.3 ,   7.5 ,   7.7 ,   8.0 ,   8.5

Agora beleza, vamos marcar a mediana:

Agora, quem é o cara que está entre o primeiro termo e a mediana?

Não temos exatamente um carinha no meio, mas sim esses dois aí. Nesse caso, vamos fazer a mesma coisa que fazíamos na mediana: tirar a média entre eles!

Ou seja, nosso Q 1 = 6,15 .

Para um caso geral, com n dados, tipo:

x 1 , x 2 , x 3 , … , x n

O 1º quartil é encontrado na posição

n + 3 4

Exemplo

Os dados abaixo correspondem as notas de uma turma de Probabilidade e Estatítica com 30 alunos:

Primeiro precisamos ordenar os nossos dados, certo? Ficaremos com essa carinha:

Assim,

P o s Q 1 = n + 3 4 = 33 4 = 8,25

Beleza?!

Q 2 , ou segundo quartil, representa a mediana (sim, você já até conhecia ele!), o valor na posição central. Até o seu valor, temos 50% dos nossos dados.

No nosso exemplo ali em cima, nós já acabamos encontrando o Q 2 ! Haha

E, por fim, o Q 3 é o valor da posição central entre a mediana e o último termo. Até seu valor, temos 75% dos nossos dados.

Para um caso geral, com n dados, tipo:

x 1 , x 2 , x 3 , … , x n

O 3º quartil é encontrado na posição

3 n + 1 4

Vamos calcular 3º quartil no nosso exemplo das notas de uma turma de Probabilidade e Estatítica com 30 alunos:

P o s Q 3 = 3 n + 1 4 = 91 4 = 22,75

Show de bola?!

Interpolação

Em certos casos, quando utilizarmos as fórmulas para encontrar as posições dos nossos 1ª ou 3º quartis, teremos valores quebrados.

Nesses casos, faremos o que chamamos de interpolação, que nada mais é do que uma média ponderada.

Exemplo:

No exemplo anterior do 3º quartil encontramos o valor 22,75 , isso quer dizer que nosso dado está entre as posições 22   e 23 . Porém, ele está mais próximo do valor 23 . Faremos então a seguinte média ponderada:

0,25 * x 22 + 0,75 * x 23

Beleza!? É só você colocar mais peso para o valor que ele está mais próximo!

Distância Interquartil

Agora digamos que você queira ver a quantidade de dispersão no meio, 50%, de um conjunto de dados. Para isso, utilizaremos a distância interquartil. Show de bola?!

Em outras palavras, é a distância entre o primeiro quartil e o terceiro quartil:

D I Q = Q 3 - Q 1

De boa até aqui?!

Vamos fazer um exemplo geralzão aplicando tudo o que aprendemos aqui?

Exemplo

Em uma turma de Cálculo da UFRJ temos alunos das seguintes idades:

Nosso n , ou quantidade de termos, é o seguinte:

n = 62

PARE! Antes de partir pro cálculo dos quartis, coloque seus dados em ordem crescente! Isso é muito importante, não esquece! Ordenando, ficaremos com essa carinha

Então, como n é par, Q 2 é a média entre os valores centrais, no caso:

Q 2 = x ( 31 ) + x ( 32 ) 2 = 19 + 19 2 = 19   a n o s

Pra encontrar Q 1 a gente faz:

n + 3 4 = 65 4 = 16,25

Isso quer dizer que Q 1 vai estar entre os da posição 16 e 17, fazendo a interpolação:

Q 1 = 0,25 . x 16 + 0,75 . x 17 = 0,25 × 18 + 0,75 × 18 = 18   a n o s

Pra Q 3 :

3 n + 1 4 = 187 4 = 46,75

Q 3 vai ser a interpolação entre os valores da posição 46 e 47 :

Q 3 = 0,75 . x 46 + 0,25 . x 47 = 0,75 × 21 + 0,25 × 21 = 21   a n o s

A distância interquartil seria então:

D I Q = 21 - 18 = 3   a n o s

Isso quer dizer que aproximadamente metade dos alunos tem idade entre 18 e 21 anos, aproximadamente um quarto deles tem idade menor que 18 anos e um quarto maior que 21 anos.

Nos vemos nos exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 381-06.

A tabela de dados brutos a seguir reporta, o número de linhas telefônicas por 1000 habitantes em cada estado do Brasil, em 2001.

b) Determine os seus quartis

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, a primeira coisa que devemos fazer para determinar os quartis é colocar nossos dados em ordem crescente:

Q 2 = m e d i a n a = 19 3,3

Passo 2

Temos que n = 27 .

  • Para encontrar Q1 faremos:
  • n + 3 4 = 27 + 3 4 = 30 4 = 7,5

    Isso quer dizer que Q1 vai estar entre a posição 7 e a posição 8, fazendo a interpolação:

    Q 1 = 0,5 × x 7 + 0,5 × x 8 = 0,5 × 140,0 + 0,5 × 14 0 , 7 = 14 0 , 35

    Passo 3

  • Para encontrar Q3 faremos:

3 n + 1 4 = 3 × 27 + 1 4 = 82 4 = 20,5

Isso quer dizer que Q3 vai estar entre a posição 20 e a posição 21. Fazendo a interpolação:

Q 3 = 0,5 × x 20 + 0,5 × x 21 = 0,5 × 23 1 , 4 + 0,5 × 235 , 3 = 233 , 3 5

Resposta

Q 2 = 19 3 , 3

Q 1 = 140,35

Q 3 = 233,35

Exercício Resolvido #2

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 381-04.

Um determinado fabricante produz implantes mamários utilizando gel de silicone. Os dados a seguir se referem a tensão de ruptura desses implantes e foram obtidos através de testes físicos realizados com uma amostra de tamanho n=20:

Com base nesses dados obtenha os quartis Q1,Q2 e Q3.

Foi apresentada a seguinte solução:

Posição (Q2)= 1 + 20 2 = 10,5   → Q 2 = 1 2 × 77,2 + 1 2 × 65,1 = 71,15

Posição (Q1) = 1 + 10,5 2 = 5,75 → Q 1 = 1 4 × 70,9 + 3 4 × 72,1 = 71,8

Posição (Q3) = 10,5 + 20 2 = 15,25 → Q 3 = 3 4 × 70,6 + 1 4 × 70,3 = 70,525

a) Algo está errado nessa solução. O que é?

b) Qual a solução correta?

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Passo 1

a) E aí? Está errada a solução? Sim!

Está errada pois ele esqueceu de ordenar em ordem crescente! Esse é o primeiro passo, depois isso as coisas desandaram.

Passo 2

Vamos colocar na ordem crescente e calcular os quartis.

Passo 3

Agora vamos calcular os quartis.

- Q2

Sabemos que Q2 é a mediana, neste caso como temos um total par de números

Q 2 = 70,9 + 70,6 2 = 70 , 75

Passo 4

- Q1

Temos um total de 20 posições, portanto n = 20

Faremos

n + 3 4 = 20 + 3 4 = 23 4 = 5,75

Portanto o Q1 está entre a posição 5 e 6.

Fazendo a interpolação

65,1 × 0,25 + 66,5 × 0,75 = 66,15

Q 1 = 66,15

Passo 5

- Q3

Para o cálculo de Q3 faremos primeiro

3 n + 1 4 = 3.20 + 1 4 = 61 4 = 15,25

Isso quer dizer que Q3 está entre o 15 e o 16.

Fazendo a interpolação

74,9 × 0,75 + 75,1 × 0,25 = 74,95

Resposta

Q 2 = 70 , 7 5

Q 1 = 66,15

Q 3 = 74,95

Exercício Resolvido #3

UFRJ, ProbEst, P2/2013.2, 1

Dado um conjunto de pares ( x i ,   y i ) , i variando de 1 até n .

  1. Que relação existe entre as médias das variáveis X e Y = a + X , onde " a " é uma constante (isto é, y i = a + x i )? E entre as variâncias de X e Y ? E entre as distâncias interquartis (DIQ) de X e Y ? Qual o coeficiente de correlação de X e Y ?
  2. Responda as mesmas quatro perguntas do item (a) se Y = b X , onde " b " é uma constante positiva.
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Passo 1

(a)

Bom, temos que Y = a + X , ou seja, estamos somando uma constante a ao nosso valor de X . Pensa comigo para medidas como média, quartis e tals, a relação entre X e Y vai ser só somar a constante a também, concorda? Se a média de X é um valor, a média de Y vai ser essa valor mais a constante.

y ¯ = a + x ¯

Q 1 Y = Q 1 X + a

Q 2 Y = Q 2 X + a

Q 3 Y = Q 3 X + a

Mas quando a gente for fazer o DIQ, a gente vai subtrair Q3 de Q1 e a constante a vai sumir, então:

D I Q Y = D I Q ( X )

Já a variancia, assim como o coeficiente de correlação não são afetados pela soma de uma constante, confia em mim.

s 2 Y = s ² ( X )

E:

r x y = 1

Passo 2

(b)

Agora é outra história, estamos multiplicando X por uma constante b .

Medidas como média e quartis vão manter a mesma proporção, é só multiplicar por b .

y ¯ = b . x ¯

Q 1 Y = b . Q 1 X

Q 2 Y = b . Q 2 X

Q 3 Y = b . Q 3 X

Com relação ao D I Q também manterá a mesma relação quando diminuir Q 3 de Q 1 .

D I Q Y = b . D I Q ( X )

Se você lembrar das propriedades da variância vai se ligar que:

s 2 Y = b 2 . s 2 X

Quando multiplicamos uma variável por uma constante, também não alteramos a correlação, que continuará sendo 1.

r x y = 1

Resposta

a

y ¯ = a + x ¯

Q 1 Y = Q 1 X + a

Q 2 Y = Q 2 X + a

Q 3 Y = Q 3 X + a

D I Q Y = D I Q ( X )

s 2 Y = s ² ( X )

r x y = 1

b

y ¯ = b . x ¯

Q 1 Y = b . Q 1 X

Q 2 Y = b . Q 2 X

Q 3 Y = b . Q 3 X

D I Q Y = b . D I Q ( X )

s 2 Y = b 2 . s 2 X

r x y = 1

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Considere novamente as notas dos 50 alunos, reproduzidas na Tabela 3.10. Calcule o intervalo interquartil das notas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro temos que colocar esses dados em ordem, mas como tem muiiito dado pra gente reescrever, vamos usar aquele conceito de frequência para representá-los:

Nós escrevemos todos os valores de notas que aparecem nos dados ( 1 ,   2 ,   3 … 10 ) e ao lado representamos a frequência simples de cada um, ou seja, quantas vezes cada um aparece. A última coluna, de frequência é simplesmente a frequência simples do x i analisado somada a todas as frequências simples anteriores.

Ok, voltando a questão, para calcular a distância interquartil temos que lembrar que:

D I Q = Q 3 - Q 1

Vamos começar calculando Q 3 , nosso terceiro quartil. Ele deve estar na posição:

P o s Q 3 = 3 n + 1 4

Onde n é o número total de dados. No nosso caso n = 50 :

P o s Q 3 = 3 × 50 + 1 4 = 37,75

Temos que fazer uma média ponderada entre o 37 º e o 38 º dado da tabela.

Olhando nossa tabela de freqüências, temos que procurar onde está o os dados 37 º e 38 º nas freqüências acumuladas.

Podemos observar que a frequência acumulada se torna 37 para x i = 7 , então quanto terminamos de contar todas as notas até o 7 temos 37 dados. Então o dado 37 vai ser 7 e 38 é o dado que temos imediatamente após o 7 , já que 37 é o último 7 , ou seja, o dado 38 º é o 8 .

Fazendo a média interpolada para 37,75 , estamos 0,75 mais perto do 38 º (que vale 8 )e 0,25 mais perto do 37 º (que vale 7 ), então:

Q 3 = 0,75 × 8 + 0,25 × 7 = 7,75

Mas repara comigo, nessa tabela a gente só tem números inteiros, o valor 7,75 nem existe nela. Então para tudo fazer mais sentido, vamos considerar que o terceiro quartil é isso aí arredondado mesmo:

Q 3 ≅ 8

Passo 2

Agora o primeiro quartil, a posição dele é dada por:

P o s Q 1 = n + 3 4 = 50 + 3 4 = 13,25

Mas olhando na tabela vemos que tanto o 13 º como o 14 º dado valem 4 . Então de cara podemos afirmar que:

Q 1 = 4

Portanto nossa D I Q é:

D I Q = Q 3 - Q 1 = 8 - 4 = 4

Passo 3

Resposta

4

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