Quartis estatística

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Teoria

Fala aí, você chegou no Responde Aí! E vamos tirar todas as suas dúvidas sobre Quartis.

Quartis

Fala Aí!! Belezinha? Imagina comigo a seguinte situação: Você está fazendo uma pesquisa e precisa dividir a população de forma que você consiga determinar a partir de qual valor (ou posição) temos a parte da população com maior renda.

Como podemos descobrir isso? Utilizaremos os famosos quartis.

Meme: Gretchen pensando
Meme: Gretchen pensando

Quartis são valores que dividem uma amostra de dados em quatro partes iguais. Algo desse tipo:

Visualização dos quartis
Visualização dos quartis

Beleza?! Com eles podemos rapidamente avaliar a dispersão e a tendência central de um conjunto de dados, que são etapas importantes na compreensão dos nossos dados.

Vamos ver como encontrar esses quartis???

O 1º quartil, , é o valor da posição central entre o primeiro termo e a mediana. Ele serve para marcarmos que, até o seu valor, temos dos nossos dados.

O 2º quartil, , é a a mediana!

O 3º quartil, , é o meio do caminho entre a mediana e o último termo. Ele marca que, até o seu valor, temos dos nossos dados.

Como calcular os Quartis?

Vamos supor que só tenham guerreiros na sua turma de Estatística, e as notas deles na P1 tenham sido as seguintes:

Agora vamos calcular os quartis dessa lista de notas.

Passo 1: Colar tudo em ordem crescente.

Passo 2: Encontrar a mediana.

Para calcular a mediana é só a gente encontrar o valor do meio da lista:

Encontrando a mediana
Encontrando a mediana

E prontinho. E a mediana é igual ao segundo quartil, então um dos quartis já foi encontrado

Passo 3: Encontrar o primeiro quartil, para isso vamos encontrar o valor do meio entre o primeiro valor e a mediana:

Temos
Temos

Não temos exatamente um carinha no meio, mas sim esses dois aí. Nesse caso, vamos fazer a mesma coisa que fazíamos na mediana: tirar a média entre eles!

Passo 2: Encontrar a mediana.

Para calcular a mediana é só a gente encontrar o valor do meio da lista:

Encontrando a mediana
Encontrando a mediana

E prontinho. E a mediana é igual ao segundo quartil, então um dos quartis já foi encontrado, ou seja:

Passo 3: Encontrar o primeiro quartil, para isso vamos encontrar o valor do meio entre o primeiro valor e a mediana:

Valor entre início a mediana
Valor entre início a mediana

Não temos exatamente um carinha no meio, mas sim esses dois aí. Nesse caso, vamos fazer a mesma coisa que fazíamos na mediana: tirar a média entre eles!

Primeiro quartil
Primeiro quartil

Ou seja:

Passo 4: O terceiro quartil é o valor da posição central entre a mediana e o último termo. Até seu valor, temos 75% dos nossos dados.

Terceiro quartil
Terceiro quartil

Logo:

Fórmula geral para calcular Quartis

Os quartis são calculados quando temos uma sequencia de valores em ordem crescente.

O primeiro quartil é o valor que fica no meio do primeiro valor e da media. A posição do primeiro quartil pode ser calculada com a fórmula:

E a posição do terceiro quartil:

Interpolação

Em certos casos, quando utilizarmos as fórmulas para encontrar as posições dos nossos 1ª ou 3º quartis, teremos valores quebrados.

Nesses casos, faremos o que chamamos de interpolação, que nada mais é do que uma média ponderada.

Exemplo das fórmulas dos quartis

Os dados abaixo correspondem as notas de uma turma de Probabilidade e Estatítica com 30 alunos:

Notas da turma
Notas da turma

Passo 1: Primeiro precisamos ordenar os nossos dados, certo? Ficaremos com essa carinha:

Notas da turma em ordem crescente
Notas da turma em ordem crescente

Passo 2: Para calcular a posição do primeiro quartil podemos utilizar a fórmula:

Ou seja, o primeiro quartil está entre a ª e ª posição, porém, ele está mais perto da ª, então para calcular a média fazemos assim:

Passo 3: Agora podemos calcular o segundo quartil. Como vimos, o segundo quartil é a mesma coisa que a mediana, então é só encontrar a mediana dos dados:

Passo 4: E pra terminar a gente pode calcular o terceiro quartil utilizando a fórmula:

Ou seja, isso quer dizer que nosso dado está entre as posições
e . Porém, ele está mais próximo da posição . Faremos então a seguinte média ponderada:

E prontinho! Calculamos os três quartis rapidinho!

Distância Interquartil

Agora digamos que você queira ver a quantidade de dispersão no meio, 50%, de um conjunto de dados. Para isso, utilizaremos a distância interquartil. Show de bola?!

Em outras palavras, é a distância entre o primeiro quartil e o terceiro quartil:

E é só isso.

No exemplo anterior, a gente poderia calcular a distância interquartil assim:

E é isso! Tranquilo, não é?!

Videoaula

Ta sentido que precisa continuar estudando? Então de boa! Da uma olhada nessa videoaula maneiríssima sobre os Quartis

E pra fazer uns exercícios é só se ligar aqui em baixo 👇

Distância Interquartil

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A tabela de dados brutos a seguir reporta, o número de linhas telefônicas por 1000 habitantes em cada estado do Brasil, em 2001.

b) Determine os seus quartis

Passo 1

Bom, a primeira coisa que devemos fazer para determinar os quartis é colocar nossos dados em ordem crescente:

Q 2 = m e d i a n a = 19 3,3

Passo 2

Temos que n = 27 .

  • Para encontrar Q1 faremos:
  • n + 3 4 = 27 + 3 4 = 30 4 = 7,5

    Isso quer dizer que Q1 vai estar entre a posição 7 e a posição 8, fazendo a interpolação:

    Q 1 = 0,5 × x 7 + 0,5 × x 8 = 0,5 × 140,0 + 0,5 × 14 0 , 7 = 14 0 , 35

    Passo 3

  • Para encontrar Q3 faremos:

3 n + 1 4 = 3 × 27 + 1 4 = 82 4 = 20,5

Isso quer dizer que Q3 vai estar entre a posição 20 e a posição 21. Fazendo a interpolação:

Q 3 = 0,5 × x 20 + 0,5 × x 21 = 0,5 × 23 1 , 4 + 0,5 × 235 , 3 = 233 , 3 5

Resposta

Q 2 = 19 3 , 3

Q 1 = 140,35

Q 3 = 233,35

Exercício Resolvido #2

Um determinado fabricante produz implantes mamários utilizando gel de silicone. Os dados a seguir se referem a tensão de ruptura desses implantes e foram obtidos através de testes físicos realizados com uma amostra de tamanho n=20:

Com base nesses dados obtenha os quartis Q1,Q2 e Q3.

Foi apresentada a seguinte solução:

Posição (Q2)= 1 + 20 2 = 10,5   → Q 2 = 1 2 × 77,2 + 1 2 × 65,1 = 71,15

Posição (Q1) = 1 + 10,5 2 = 5,75 → Q 1 = 1 4 × 70,9 + 3 4 × 72,1 = 71,8

Posição (Q3) = 10,5 + 20 2 = 15,25 → Q 3 = 3 4 × 70,6 + 1 4 × 70,3 = 70,525

a) Algo está errado nessa solução. O que é?

b) Qual a solução correta?

Passo 1

a) E aí? Está errada a solução? Sim!

Está errada pois ele esqueceu de ordenar em ordem crescente! Esse é o primeiro passo, depois isso as coisas desandaram.

Passo 2

Vamos colocar na ordem crescente e calcular os quartis.

Passo 3

Agora vamos calcular os quartis.

- Q2

Sabemos que Q2 é a mediana, neste caso como temos um total par de números

Q 2 = 70,9 + 70,6 2 = 70 , 75

Passo 4

- Q1

Temos um total de 20 posições, portanto n = 20

Faremos

n + 3 4 = 20 + 3 4 = 23 4 = 5,75

Portanto o Q1 está entre a posição 5 e 6.

Fazendo a interpolação

65,1 × 0,25 + 66,5 × 0,75 = 66,15

Q 1 = 66,15

Passo 5

- Q3

Para o cálculo de Q3 faremos primeiro

3 n + 1 4 = 3.20 + 1 4 = 61 4 = 15,25

Isso quer dizer que Q3 está entre o 15 e o 16.

Fazendo a interpolação

74,9 × 0,75 + 75,1 × 0,25 = 74,95

Resposta

Q 2 = 70 , 7 5

Q 1 = 66,15

Q 3 = 74,95

Exercício Resolvido #3

Dado um conjunto de pares ( x i ,   y i ) , i variando de 1 até n .

  1. Que relação existe entre as médias das variáveis X e Y = a + X , onde " a " é uma constante (isto é, y i = a + x i )? E entre as variâncias de X e Y ? E entre as distâncias interquartis (DIQ) de X e Y ? Qual o coeficiente de correlação de X e Y ?
  2. Responda as mesmas quatro perguntas do item (a) se Y = b X , onde " b " é uma constante positiva.

Passo 1

(a)

Bom, temos que Y = a + X , ou seja, estamos somando uma constante a ao nosso valor de X . Pensa comigo para medidas como média, quartis e tals, a relação entre X e Y vai ser só somar a constante a também, concorda? Se a média de X é um valor, a média de Y vai ser essa valor mais a constante.

y ¯ = a + x ¯

Q 1 Y = Q 1 X + a

Q 2 Y = Q 2 X + a

Q 3 Y = Q 3 X + a

Mas quando a gente for fazer o DIQ, a gente vai subtrair Q3 de Q1 e a constante a vai sumir, então:

D I Q Y = D I Q ( X )

Já a variancia, assim como o coeficiente de correlação não são afetados pela soma de uma constante, confia em mim.

s 2 Y = s ² ( X )

E:

r x y = 1

Passo 2

(b)

Agora é outra história, estamos multiplicando X por uma constante b .

Medidas como média e quartis vão manter a mesma proporção, é só multiplicar por b .

y ¯ = b . x ¯

Q 1 Y = b . Q 1 X

Q 2 Y = b . Q 2 X

Q 3 Y = b . Q 3 X

Com relação ao D I Q também manterá a mesma relação quando diminuir Q 3 de Q 1 .

D I Q Y = b . D I Q ( X )

Se você lembrar das propriedades da variância vai se ligar que:

s 2 Y = b 2 . s 2 X

Quando multiplicamos uma variável por uma constante, também não alteramos a correlação, que continuará sendo 1.

r x y = 1

Resposta

a

y ¯ = a + x ¯

Q 1 Y = Q 1 X + a

Q 2 Y = Q 2 X + a

Q 3 Y = Q 3 X + a

D I Q Y = D I Q ( X )

s 2 Y = s ² ( X )

r x y = 1

b

y ¯ = b . x ¯

Q 1 Y = b . Q 1 X

Q 2 Y = b . Q 2 X

Q 3 Y = b . Q 3 X

D I Q Y = b . D I Q ( X )

s 2 Y = b 2 . s 2 X

r x y = 1

Exercício Resolvido #4

Considere novamente as notas dos 50 alunos, reproduzidas na Tabela 3.10. Calcule o intervalo interquartil das notas.

Passo 1

Primeiro temos que colocar esses dados em ordem, mas como tem muiiito dado pra gente reescrever, vamos usar aquele conceito de frequência para representá-los:

Nós escrevemos todos os valores de notas que aparecem nos dados ( 1 ,   2 ,   3 … 10 ) e ao lado representamos a frequência simples de cada um, ou seja, quantas vezes cada um aparece. A última coluna, de frequência é simplesmente a frequência simples do x i analisado somada a todas as frequências simples anteriores.

Ok, voltando a questão, para calcular a distância interquartil temos que lembrar que:

D I Q = Q 3 - Q 1

Vamos começar calculando Q 3 , nosso terceiro quartil. Ele deve estar na posição:

P o s Q 3 = 3 n + 1 4

Onde n é o número total de dados. No nosso caso n = 50 :

P o s Q 3 = 3 × 50 + 1 4 = 37,75

Temos que fazer uma média ponderada entre o 37 º e o 38 º dado da tabela.

Olhando nossa tabela de freqüências, temos que procurar onde está o os dados 37 º e 38 º nas freqüências acumuladas.

Podemos observar que a frequência acumulada se torna 37 para x i = 7 , então quanto terminamos de contar todas as notas até o 7 temos 37 dados. Então o dado 37 vai ser 7 e 38 é o dado que temos imediatamente após o 7 , já que 37 é o último 7 , ou seja, o dado 38 º é o 8 .

Fazendo a média interpolada para 37,75 , estamos 0,75 mais perto do 38 º (que vale 8 )e 0,25 mais perto do 37 º (que vale 7 ), então:

Q 3 = 0,75 × 8 + 0,25 × 7 = 7,75

Mas repara comigo, nessa tabela a gente só tem números inteiros, o valor 7,75 nem existe nela. Então para tudo fazer mais sentido, vamos considerar que o terceiro quartil é isso aí arredondado mesmo:

Q 3 ≅ 8

Passo 2

Agora o primeiro quartil, a posição dele é dada por:

P o s Q 1 = n + 3 4 = 50 + 3 4 = 13,25

Mas olhando na tabela vemos que tanto o 13 º como o 14 º dado valem 4 . Então de cara podemos afirmar que:

Q 1 = 4

Portanto nossa D I Q é:

D I Q = Q 3 - Q 1 = 8 - 4 = 4

Resposta

4

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