Teoria Completa
Quartis
Fala Aíí!! Belezinha? Imagina comigo a seguinte situação: Você está fazendo uma pesquisa e precisa dividir a população de forma que você consiga determinar a partir de qual valor (ou posição) temos a parte da população com maior renda.
Como podemos descobrir isso? Utilizaremos os famosos quartis.
Quartis são valores que dividem uma amostra de dados em quatro partes iguais. Algo desse tipo:
Beleza?! Com eles podemos rapidamente avaliar a dispersão e a tendência central de um conjunto de dados, que são etapas importantes na compreensão dos nossos dados.
Vamos ver como encontrar esses quartis???
, ou 1º quartil, é o valor da posição central entre o primeiro termo e a mediana. Ele serve para marcarmos que, até o seu valor, temos 25% dos nossos dados.
Vamos supor que só tenham 7 guerreiros na sua turma de ProBest, e as notas deles na P1 tenham sido as seguintes:
Vamos lá: pra encontrar o , a primeira coisa é identificar a mediana, certo?
NÃO! Assim como nas outras medidas de dispersão, o primeiro passo é sempre colocar os dados em ordem crescente! Haha
Agora beleza, vamos marcar a mediana:
Agora, quem é o cara que está entre o primeiro termo e a mediana?
Não temos exatamente um carinha no meio, mas sim esses dois aí. Nesse caso, vamos fazer a mesma coisa que fazíamos na mediana: tirar a média entre eles!
Ou seja, nosso
Para um caso geral, com dados, tipo:
O 1º quartil é encontrado na posição
Exemplo
Os dados abaixo correspondem as notas de uma turma de Probabilidade e Estatítica com 30 alunos:
Primeiro precisamos ordenar os nossos dados, certo? Ficaremos com essa carinha:
Assim,
Beleza?!
, ou segundo quartil, representa a mediana (sim, você já até conhecia ele!), o valor na posição central. Até o seu valor, temos 50% dos nossos dados.
No nosso exemplo ali em cima, nós já acabamos encontrando o ! Haha
E, por fim, o é o valor da posição central entre a mediana e o último termo. Até seu valor, temos 75% dos nossos dados.
Para um caso geral, com dados, tipo:
O 3º quartil é encontrado na posição
Vamos calcular 3º quartil no nosso exemplo das notas de uma turma de Probabilidade e Estatítica com 30 alunos:
Show de bola?!
Interpolação
Em certos casos, quando utilizarmos as fórmulas para encontrar as posições dos nossos 1ª ou 3º quartis, teremos valores quebrados.
Nesses casos, faremos o que chamamos de interpolação, que nada mais é do que uma média ponderada.
Exemplo:
No exemplo anterior do 3º quartil encontramos o valor , isso quer dizer que nosso dado está entre as posições e . Porém, ele está mais próximo do valor . Faremos então a seguinte média ponderada:
Beleza!? É só você colocar mais peso para o valor que ele está mais próximo!
Distância Interquartil
Agora digamos que você queira ver a quantidade de dispersão no meio, 50%, de um conjunto de dados. Para isso, utilizaremos a distância interquartil. Show de bola?!
Em outras palavras, é a distância entre o primeiro quartil e o terceiro quartil:
De boa até aqui?!
Vamos fazer um exemplo geralzão aplicando tudo o que aprendemos aqui?
Exemplo
Em uma turma de Cálculo da UFRJ temos alunos das seguintes idades:
Nosso , ou quantidade de termos, é o seguinte:
PARE! Antes de partir pro cálculo dos quartis, coloque seus dados em ordem crescente! Isso é muito importante, não esquece! Ordenando, ficaremos com essa carinha
Então, como é par, é a média entre os valores centrais, no caso:
Pra encontrar a gente faz:
Isso quer dizer que vai estar entre os da posição 16 e 17, fazendo a interpolação:
Pra :
vai ser a interpolação entre os valores da posição 46 e 47 :
A distância interquartil seria então:
Isso quer dizer que aproximadamente metade dos alunos tem idade entre 18 e 21 anos, aproximadamente um quarto deles tem idade menor que 18 anos e um quarto maior que 21 anos.
Nos vemos nos exercícios!!!
Exercício Resolvido #1
A tabela de dados brutos a seguir reporta, o número de linhas telefônicas por 1000 habitantes em cada estado do Brasil, em 2001.
b) Determine os seus quartis
Passo 1
Bom, a primeira coisa que devemos fazer para determinar os quartis é colocar nossos dados em ordem crescente:
Passo 2
Temos que .
- Para encontrar Q1 faremos:
- Para encontrar Q3 faremos:
Isso quer dizer que Q1 vai estar entre a posição 7 e a posição 8, fazendo a interpolação:
Passo 3
Isso quer dizer que Q3 vai estar entre a posição 20 e a posição 21. Fazendo a interpolação:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Um determinado fabricante produz implantes mamários utilizando gel de silicone. Os dados a seguir se referem a tensão de ruptura desses implantes e foram obtidos através de testes físicos realizados com uma amostra de tamanho n=20:
Com base nesses dados obtenha os quartis Q1,Q2 e Q3.
Foi apresentada a seguinte solução:
Posição (Q2)=
Posição (Q1) =
Posição (Q3) =
a) Algo está errado nessa solução. O que é?
b) Qual a solução correta?
Passo 1
a) E aí? Está errada a solução? Sim!
Está errada pois ele esqueceu de ordenar em ordem crescente! Esse é o primeiro passo, depois isso as coisas desandaram.
Passo 2
Vamos colocar na ordem crescente e calcular os quartis.
Passo 3
Agora vamos calcular os quartis.
- Q2
Sabemos que Q2 é a mediana, neste caso como temos um total par de números
Passo 4
- Q1
Temos um total de 20 posições, portanto
Faremos
Portanto o Q1 está entre a posição 5 e 6.
Fazendo a interpolação
Passo 5
- Q3
Para o cálculo de Q3 faremos primeiro
Isso quer dizer que Q3 está entre o 15 e o 16.
Fazendo a interpolação
Resposta
Exercício Resolvido #3
Dado um conjunto de pares , variando de 1 até .
- Que relação existe entre as médias das variáveis e , onde é uma constante (isto é, )? E entre as variâncias de e ? E entre as distâncias interquartis (DIQ) de e ? Qual o coeficiente de correlação de e ?
- Responda as mesmas quatro perguntas do item (a) se , onde é uma constante positiva.
Passo 1
(a)
Bom, temos que , ou seja, estamos somando uma constante ao nosso valor de . Pensa comigo para medidas como média, quartis e tals, a relação entre e Y vai ser só somar a constante também, concorda? Se a média de X é um valor, a média de Y vai ser essa valor mais a constante.
Mas quando a gente for fazer o DIQ, a gente vai subtrair Q3 de Q1 e a constante vai sumir, então:
Já a variancia, assim como o coeficiente de correlação não são afetados pela soma de uma constante, confia em mim.
E:
Passo 2
(b)
Agora é outra história, estamos multiplicando por uma constante .
Medidas como média e quartis vão manter a mesma proporção, é só multiplicar por .
Com relação ao também manterá a mesma relação quando diminuir de .
Se você lembrar das propriedades da variância vai se ligar que:
Quando multiplicamos uma variável por uma constante, também não alteramos a correlação, que continuará sendo 1.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Considere novamente as notas dos 50 alunos, reproduzidas na Tabela 3.10. Calcule o intervalo interquartil das notas.
Passo 1
Primeiro temos que colocar esses dados em ordem, mas como tem muiiito dado pra gente reescrever, vamos usar aquele conceito de frequência para representá-los:
Nós escrevemos todos os valores de notas que aparecem nos dados e ao lado representamos a frequência simples de cada um, ou seja, quantas vezes cada um aparece. A última coluna, de frequência é simplesmente a frequência simples do analisado somada a todas as frequências simples anteriores.
Ok, voltando a questão, para calcular a distância interquartil temos que lembrar que:
Vamos começar calculando , nosso terceiro quartil. Ele deve estar na posição:
Onde é o número total de dados. No nosso caso :
Temos que fazer uma média ponderada entre o e o dado da tabela.
Olhando nossa tabela de freqüências, temos que procurar onde está o os dados e nas freqüências acumuladas.
Podemos observar que a frequência acumulada se torna para , então quanto terminamos de contar todas as notas até o temos dados. Então o dado vai ser e é o dado que temos imediatamente após o , já que é o último , ou seja, o dado é o .
Fazendo a média interpolada para , estamos mais perto do º (que vale )e mais perto do (que vale ), então:
Mas repara comigo, nessa tabela a gente só tem números inteiros, o valor nem existe nela. Então para tudo fazer mais sentido, vamos considerar que o terceiro quartil é isso aí arredondado mesmo:
Passo 2
Agora o primeiro quartil, a posição dele é dada por:
Mas olhando na tabela vemos que tanto o como o dado valem . Então de cara podemos afirmar que:
Portanto nossa é: