1.

Dado um conjunto de pares ( x i ,   y i ) , i variando de 1 até n .

  1. Que relação existe entre as médias das variáveis X e Y = a + X , onde " a " é uma constante (isto é, y i = a + x i )? E entre as variâncias de X e Y ? E entre as distâncias interquartis (DIQ) de X e Y ? Qual o coeficiente de correlação de X e Y ?
  2. Responda as mesmas quatro perguntas do item (a) se Y = b X , onde " b " é uma constante positiva.
Resolução
2.

Considere novamente as notas dos 50 alunos, reproduzidas na Tabela 3.10. Calcule o intervalo interquartil das notas.

Resolução
3.

Um determinado fabricante produz implantes mamários utilizando gel de silicone. Os dados a seguir se referem a tensão de ruptura desses implantes e foram obtidos através de testes físicos realizados com uma amostra de tamanho n=20:

Com base nesses dados obtenha os quartis Q1,Q2 e Q3.

Foi apresentada a seguinte solução:

Posição (Q2)= 1 + 20 2 = 10,5   → Q 2 = 1 2 × 77,2 + 1 2 × 65,1 = 71,15

Posição (Q1) = 1 + 10,5 2 = 5,75 → Q 1 = 1 4 × 70,9 + 3 4 × 72,1 = 71,8

Posição (Q3) = 10,5 + 20 2 = 15,25 → Q 3 = 3 4 × 70,6 + 1 4 × 70,3 = 70,525

a) Algo está errado nessa solução. O que é?

b) Qual a solução correta?

Resolução
4.

A tabela de dados brutos a seguir reporta, o número de linhas telefônicas por 1000 habitantes em cada estado do Brasil, em 2001.

b) Determine os seus quartis

Resolução
5.

O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória T 1   Exponencialmente distribuída com parâmetro λ   =   1 2 .

(c) Calcule a Mediana ( Q 2 ) e Distância Interquartil (DIQ) de T 1 .

Resolução
6.

Seja um conjunto de dados ordenados {7, 10, 30, 35, 50,52} , pede-se:

  1. Mediana
  2. Moda
  3. Segundo decil
  4. Primeiro quartil
  5. Trigésimo quinto percentil

Observação: Deve-se identificar necessariamente a posição da estatística pedida.

Resolução
7.

Os dados abaixo correspondem a notas de uma turma de Probest com 30 alunos:

68         47         87         65         97         49         65         70         73         81

85         77         83         56         63         79         82         84         69         70

61         73         30         81         67         76         58         53         71         82

Onde:

∑ i = 1 30 x i = 2102   e   ∑ i = 1 30 x i 2 = 152996

(b)

(i) Calcule a média e os quartis;

(ii) Calcule a variância e o desvio padrão;

(iii) Existe alguma nota fora do intervalo x -   ±   2 s ?

Resolução
8.

O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória T 1   Exponencialmente distribu��da com parâmetro λ   =   1 2 .

(d) Suponha agora que a distribuição do tempo ( T 2 ) de reparo não seja mais Exponencial, mas que possa ser modelada por uma Normal com os mesmos parâmetros Média e Variância da Exponencial T 1 . Nesta nova condição calcule P ( T 2 > 1 ) , Mediana( T 2 ) e DIQ( T 2 ).

Resolução
9.

No processo de modelagem de um problema, sabe-se que determinada variável tem uma distribuição de probabilidade simétrica. Entretanto há controvérsias sobre se ela deve ser uma Uniforme ou uma Normal. Considere as variáveis aleatórias X ~ U [ a ; b ] e Y ~ N ( μ ; σ 2 ) , tais que E X = μ e V a r X = σ ² . Para comparar as distribuições de X e de Y , calcule:

a) P ( μ - σ < Y < μ + σ ) P ( μ - σ < X < μ + σ )

b) P ( μ - σ 3 < Y < μ + σ 3 ) P ( μ - σ 3 < X < μ + σ 3 )

c) D I Q ( Y ) D I Q ( X ) , ( D I Q , significa distância interquartil).

Resolução
10.

Para o seguinte conjunto de dados ordenados: { 7,9 , 30,32,50,51 } calcule as medidas de localização ou tendência central:

  1. Mediana
  2. Moda
  3. Segundo decil
  4. Primeiro quartil
  5. Octogésimo terceiro percentil

Observação: Mostre os cálculos das posições das medidas de localização.

Resolução
11.

O comprimento das peças produzidas por uma máquina pode ser tratado como uma variável aleatória Normal com valor esperado µ (mm) e variância σ 2 (mm2 ). Uma peça pode ser considerada defeituosa se o seu comprimento diferir do valor esperado mais do que σ. Sabe-se que 50% das peças produzidas têm comprimento inferior a 2,5 mm e 47,5% das peças produzidas têm comprimento entre 2,5 mm e 3,42 mm.

(a) Calcule µ e σ.

(b) Determine a probabilidade de que uma peça não seja defeituosa.

(c) Calcule DIQ, distância interquartil da v.a. comprimento das peças.

Resolução

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