Enunciado

Com base em experiências anteriores, a Companhia Telefônica sabe que 10 % das contas dos seus clientes em uma comunidade são pagas com atraso. Para os itens abaixo, compare a solução exata com aquela obtida através de aproximação da variável aleatória pela distribuição normal.

  1. Se 150 contas são enviadas mensalmente para a comunidade, encontre a probabilidade de que 17 ou mais sejam pagas com atraso

Passo 1

Mais uma vez, não custa nada relembrar:

X = n ú m e r o   d e   c o n t a s   p a g a s   c o m   a t r a s o .

E que X ~ B i n o m i a l n ; 0,10

Ou seja, de n tentativas, temos 0,10   de chance de sucesso( no caso sucesso significa pagar conta com atraso)

Se você se lembrar, uma binomial pode ser calculada por:

P X = x = n x p x   ( 1 - p ) n - x

Para qualquer distribuição binomial, temos o seguinte:

E X = μ = n p

E

σ 2 X = V a r X = n p 1 - p

Passo 2

Começando pelo cálculo exato, X ~ B i n 150 ; 0,10  

Queremos:

P X ≥ 17 = 1 - P X < 17

Lembrando que só podemos usar a binomial quando temos o sinal de igual; pois bem, isso significa uma m****a bem grande:

P X < 17 = P X = 16 + P X = 15 + P X = 14 = P X = 13 + … P X = 0

Falta-me coragem; você também nem deveria tentar.

Mas caso queira, a solução será algo do tipo:

P X < 17 ≅ 0,6694

E então:

P X ≥ 17 = 1 - 0,6694 ≅ 0,3306

Passo 3

Uma dica: Abandona, não faz sentido ficar calculando isso; vamos usar direto a aproximação pela normal:

Z = Y - μ σ ~ N ( 0,1 )

E Lembrando também que precisamos aplicar a correção de continuidade, de acordo com a seguinte regrinha:

P X < a = P Y < a - 0,5 P X ≤ a = P Y ≤ a + 0,5 P X > a = P Y > a + 0,5 P X ≥ a = P Y ≥ a - 0,5

Portanto, nessa alternativa estamos buscando:

P X ≥ 17 = P Y ≥ 16,5

E aplicando a aproximação pela normal padrão:

P Y - μ σ ≥ 16,5 - μ σ = P Z ≥ 16,5 - μ σ

Sabemos que a média e a variância de uma distribuição BINOMIAL são dadas por:

μ = n p = 150 0,10 = 15

E

σ 2 = n p 1 - p = 150 0,10 0,90 = 13,5

Substitindo:

P Z ≥ 16,5 - 15 13,50 = P Z ≥ 0,41

Lembrando das propriedades da tabela/gráfico da distribuição Normal, teremos:

P Z ≥ 0,41 = P 0 ≤ Z < + ∞ - P 0 ≤ Z ≤ 0,41

Como o gráfico é simétrico:

P Z ≥ 0,41 = 0,5 - P 0 ≤ Z ≤ 0,41

Precisamos buscar na tabela:

Portanto, encontramos:

P 0 ≤ Z ≤ 0,41 = 0,15910

E então:

P Z ≥ 0,41 = 0,5 - 0,15542 = 0,3409

Resposta

Concluindo, se você tiver coragem verá que calculando a partir da binomial vamos encontrar algo muito próximo disso (Ah não diga!!).

Pela binomial P ≅ 0,3306 , e usando a aproximação pela normal P ≅ 0,3409

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →