Enunciado

8.70 A concentraçăo de um ingrediente ativo no produto de uma reaçâo química é fortemente influenciada pelo catalisador usado na reaçăo. Sente-se que quando o catalisador A é usado, a média populacional da concentraçāo excede 65%. O desvio-padrão é σ = 5 % . Uma amostra dos produtos de 30 experimentos independentes fornece uma concentraçáo média de x ‾ A = 64,5 % .(a) Essa informaçáo da amostra com uma concentraçáo média de x A = 64,5 % fornece informaçóes incômodas de que, talvez, μ A nāo seja 65 % , mas menos do que isso? Apóie sua resposta com uma afirmaçáo de probabilidade.(b) Suponha que um experimento similar seja realizado com o uso de outro catalisador, o B . O desvio-padráo σ ainda é assumido como 5 % e x ‾ B é 70 % . Comente se a informaçáo da amostra sobre o catalisador B parece fornecer ou nāo fortes informaçōes que sugerem que μ B é realmente maior que μ A . Apóie sua resposta calculando

P X ‾ B - X ‾ A ≥ 5,5 ∣ μ B = μ A .

(c) Sob a condiçằo de que μ A = μ B = 65 % , dê a distribuiçáo aproximada das seguintes quantidades (com a média e a variância de cada uma). Faça uso do teorema central do limite.i) X B ;ii) X A - X B ; iii) 8 2190 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dado que o desvio padrão σ = 5 % e a concentração média da população excedem 65 % Que é μ > 65 % . Tamanho da amostra n A = n B = 30 , x ‾ A = 64.5 %

Passo 2

a) Para as informações fornecidas, temos n A = 30 , x ‾ A = 64.5 % e σ A = 5 %

P X ‾ A ≤ 64.5 ∣ μ A = 65 = P Z ≤ 64.5 - 65 5 / 30   = P ( Z < - 0.55 )   = 0.2912

Não há evidências que μ A sejam menores que 65 % .

Passo 3

b) Para as informações dadas temos n B = 30 , x ‾ B = 70 % e σ B = 5 %

σ x ‾ A - x ‾ y 2 = σ A 2 n A + σ B 2 n B = 25 30 + 25 30 = 1.667 σ x ‾ A - x ‾ g = σ x ‾ A - x ‾ n 2 = 1.667 = 1.29 % P X ‾ B - X ‾ A ≥ 5.5 ∣ μ A = μ B z = 5.5 1.25 = 4.26 P X ‾ B - X ‾ A ≥ 5.5 ∣ μ B = μ A = P ( Z ≥ 4.26 )   ≈ 0

Ele apoia fortemente que μ B é maior do que μ A .

Passo 4

c) Dada a condição μ A = μ B = 65 % Usando o teorema do limite central, podemos encontrar essas distribuições aproximadas. i) Temos que encontrar a distribuição de Que é a média de X ‾ B is X ‾ B e desvio padrão de 65 % X ‾ B

σ X ‾ s ‾ = σ B n B = 5 30 = 0.9129   ⇒ X ‾ B ∼ n ( x ; 65 % , 0.9129 % )

Passo 5

ii) Temos que encontrar a distribuição de Que é a média de X ‾ A - X ‾ B is X ‾ A - X ‾ B e desvio padrão de 0 % X ‾ A - X ‾ B

σ x ‾ A - x ‾ B 2 = σ A 2 n A + σ B 2 n B = 25 30 + 25 30 = 1.667 σ x ‾ A - x ‾ B = σ x ‾ A - x ‾ B 2 = 1.667 = 1.29 %   ⇒ X ‾ A - X ‾ B ∼ n ( x ; 0,1.29 % )

iii) Temos que encontrar a distribuição de X ‾ A - X ‾ B σ 2 / 30

Resposta

Resposta nos passos.

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