Enunciado

Uma empresa fez um levantamento do custo total de um de seus produtos ( Y ), em mil cruzeiros, em função do número total de peças produzidas ( X ), em unidades, durante n = 5   m e s e s , com a finalidade de montar uma regressão linear simples entre essas variáveis. Os somatórios obtidos foram:

Nessas condições, estimar o custo variável para a capacidade máxima de produção da empresa, que é de 200 peças.

Passo 1

Oi pessoal, como vocês estão? Estou feliz em te ver aqui de novo! Vem comigo. Primeiramente iremos relembrar a teoria.

O método dos mínimos quadrados fornece os valores de a e b tais que ∑ Y i - Y ^ i 2 seja mínimo. Iremos descobrir os valores de a e b pela Regra de Cramer. Para isso, iremos utilizar algumas equações:

  • Os valores médios de X i e Y i :
  • X - = ∑ X i n

    Y - = ∑ Y i n

  • As variâncias são calculadas pelas seguintes equações:
  • S X Y = ∑ ( X i ∙ Y i ) - ∑ X i ∙ ∑ Y i n

    S X X = ∑ X i 2 - ∑ X i 2 n

  • E as estimativas procuradas de a e b :

b = S X Y S X X

a = Y - - b ∙ X -

E como já sabemos, a estimativa da regressão é dada pela seguinte equação:

Y ^ = a + b ∙ X

Passo 2

Então vamos lá para nosso exercício, do enunciado temos os seguintes dados:

n = 5

Então primeiro vamos calcular as médias de X e de Y , respectivamente:

X - = 450 5 = 90

Y - = 122 5 = 24,4

E as variâncias:

S X Y = 12450 - 450 ∙ 122 5 = 1470

S X X = 49500 - 450 2 5 = 9000

Passo 3

Com esses valores calculados no Passo 2, conseguimos calcular os valores de b :

b = 1470 9000 = 0,163

E de a :

a = 24,4 - 0,163 ∙ 90 = 9,73

Gerando a seguinte equação da reta:

Y ^ = 9,73 + 0,163 ∙ X

Passo 4

Para encontrarmos o custo varável para a capacidade máxima com X = 200   p e ç a s , antes precisamos calcular a estimativa do custo fixo, considerando que X = 0 :

Y ^ = 9,73

Então para X = 200 , temos:

Y ^ = 9,73 + 0,163 ∙ 200 = 42,33

O custo variável será:

c u s t o   v a r i á v e l = 42,33 - 9,73 = 32,6

Como a unidade de Y está em mil cruzeiros:

c u s t o   v a r i á v e l = 32,6 ∙ 1000 = C r $   32.600,00

Esse já acabou pessoal. Te espero em mais exercícios.

Resposta

c u s t o   v a r i á v e l = C r $   32.600,00 .

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