Enunciado

Uma empresa fez um levantamento, mês a mês, durante os n = 12 meses de um certo ano, a respeito de seu lucro líquido mensal Y , expresso em Cr$ 100.000,00, em função de seus gastos com propaganda em televisão X 1 e em rádio X 2 , ambos expressos em Cr$ 1.000,00.

Efetuando o cálculo dos somatórios necessários à montagem da regressão obteve:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão linear simples (só com X 2 ).

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Como no enunciado queremos a equação da regressão linear simples de Y em função de X 2 , a equação da reta será:

Y ^ = a + b 2 X 2

Para encontrarmos os valores de a e b 2 , iremos utilizar as equações:

Para isso vamos calcular as médias ( Y e X 1 ) pelas seguintes equações:

Precisamos da variância de X 2 :

S 22 = ∑ X 2 2 - ∑ X 2 2 n

E as covariâncias:

Passo 2

Então vamos para o nosso exercício. Do enunciado temos os seguintes dados:

n = 12   m e s e s

Primeiramente, vamos calcular as médias de Y e X 2 , respectivamente:

Y - = 100 12 = 8,33

X - 2 = 74 12 = 6,17

O cálculo da variância de X 2 :

S 22 = 500 - 74 2 12 = 43,67

E as covariâncias:

S Y 2 = 649 - 100 ∙ 74 12 = 32,3

S 21 = S 12 = 717 - 111 ∙ 74 12 = 32,5

Passo 3

Com esses valores, finalmente conseguimos calcular os valores de b 2 e a :

b = 32,3 43,67 = 0,74

a = 8,33 - 0,74 ∙ 6,17 = 3,76

Por fim, temos a regressão linear simples de Y em função de X 2 :

Y ^ = - 1,71 + 0,17 ∙ X 2

Tchau pessoal!

Resposta

Y ^ = 3,76 + 0,74 ∙ X 2 .

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