Enunciado

Uma empresa fez um levantamento, mês a mês, durante os n = 12 meses de um certo ano, a respeito de seu lucro líquido mensal Y , expresso em Cr$ 100.000,00, em função de seus gastos com propaganda em televisão X 1 e em rádio X 2 , ambos expressos em Cr$ 1.000,00.

Efetuando o cálculo dos somatórios necessários à montagem da regressão obteve:

Pede-se:

  1. Testar a existência da regressão múltipla e verificar se o aumento no seu poder de explicação é significativo (em relação ao modelo simples só com X 2 ), ambos ao nível de 5%.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para fazermos o teste de existência da regressão múltipla e análise de melhoramento, iremos fazer pela Análise de Variância representada pela tabela:

  • Se F R > F t a b existe regressão de Y sobre X 1 e X 2 ;
  • Se F M > F t a b o melhoramento é significativo para essa variável X i .

Para a análise de melhoramento em relação a X 2 :

∆   = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 - S Y 2 S 22 ∙ S Y 2

Passo 2

Então vamos para o nosso exercício. Precisamos dos dados que obtemos no exercício 10a) e 10b):

  • b = 0,74 ;
  • b 1 = 0,03 ;
  • b 2 = 0,72 ;
  • S Y 1 = 29,0 ;
  • S Y 2 = 32,3 ;
  • S Y Y = 38,67 ;
  • S 22 = 43,67 .

Primeiramente iremos encontrar nosso F tabelado, onde:

  • G L E = 2 ;
  • G L M = 1 ;
  • G L R = n - 3 = 12 - 3 = 9 .

Para α = 0,05 :

F R - t a b = 4,26

F M - t a b = 5,12

Passo 3

Então agora vamos calcular os quadrados médios:

Q M E = 0,03 ∙ 29,0 + 0,72 ∙ 32,3 2 = 12,06

S 2 = 38,67 - 0,03 ∙ 29,0 - 0,72 ∙ 32,3 9 = 1,62

F R = Q M E S 2 = 12,06 1,62 = 7,44

Como F R > F t a b ( 7,44 > 4,26 ), então existe regressão de Y sobre X 1 e X 2 .

Passo 4

Agora vamos calcular o melhoramento:

∆   = 0,03 ∙ 29,0 + 0,72 ∙ 32,3 - 32,3 43,67 ∙ 32,3

∆   = 0,24

F M = ∆ S 2 = 0,24 1,62 = 0,14

Como F M < F t a b ( 0,14 < 5,12 ), o melhoramento não é significativo em relação a X 2 para α = 0,05 .

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  • Existe regressão ( F R > F t a b );
  • O melhoramento não é significativo ( F M < F t a b ).

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