Enunciado

O Exercício 12-8 apresenta os dados sobre tratamento térmico em engrenagens.

(a) Teste o modelo de regressão com relação à significância da regressão

(b) Avalie a contribuição de cada regressor para o modelo, usando o teste t

(c) Ajuste um novo modelo para a resposta PASSO, usando novos regressores x 1 = C I C L O × C O N C C A R B ⁡ e x 2 = C I C L O D I F ×  CONCCARBDIF.

(d) Teste o modelo do item (c) para a significância da regressão usando $\alpha$ $=0,05 .$ Calcule também o teste $t$ para cada regressor e tire conclusões.

(e) Estime para o modelo do item (c) e compare esse valor com a estimativa de para o modelo no item (a). Qual é a menor estimativa? Esse fato oferece alguma clareza em relação a qual modelo deve ser preferido?

Passo 1

E aí galera, vamos fazer esse exercício aqui passo a passo!

Na solução deste exercício, você deve usar os dados fornecidos no exercício 12.8 e a solução desse exercício.

Letra a:

A estatística de teste F deve ser calculada como segue.

Nós sabemos:

f = S S R / k S S E / ( n - p )

Vamos recuperar:

S S E = 0.000134

Em seguida, calcule a partir dos dados:

S S T = y τ y - ∑ i = 1 n   y i 2 n = 0.0043

Agora podemos calcular:

S S R = S S T - S S E = 0.00419

Portanto, a estatística F é

f = 0.00419 / 5 0.000134 / ( 32 - 6 ) ≈ 162

O valor p para o teste de significância da regressão é então obtido como ( F ∼ F ( k , n - p ) ) :

valor P   = P F > 162 = 1 . 1 × 10 - 16 < 0.05

A hipótese H 0 é então rejeitada, a regressão é significativa.

Passo 2

Letra b:

Precisamos calcular as estatísticas de teste para os coeficientes de regressão β ^ 1 a β ^ 5 . Vamos calcular:

t 1 = β ^ 1 - 0 se ⁡ β ^ 1 = 1.21 t 2 = β ^ 2 - 0 se ⁡ β ^ 2 = 11.787 t 3 = β ^ 3 - 0 se ⁡ β ^ 3 = 0.91 t 4 = β ^ 4 - 0 se ⁡ β ^ 4 = 5.77 t 5 = β ^ 5 - 0 se ⁡ β ^ 5 = - 0.389

Os valores P correspondentes para os testes t são então facilmente obtidos:

  valor P   1 = 0.0 . 023   valor P  2 = 6.22 × 10 - 12 valor P  3 = 0.037   valor P  4 = 4.46 × 10 - 6 valor P  5 = 0.07

Portanto. apenas para a variável x 5 , não podemos rejeitar a hipótese nula sob α = 0.05 , porque 0.07 > 0.05 . Todas as outras variáveis ​​são significativas e contribuem para o modelo.

Passo 3

Letra c:

Apresente o novo modelo para os dados:

y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ϵ

onde as variáveis x 1 , x 2 são obtidas de variáveis ​​existentes, conforme descrito no texto do exercício. Calcule as estimativas de mínimos quadrados do modelo para encontrar o melhor modelo linear:

y = 0.01091791 + 0.00269096 x 1 + 0.00935551 x 2

Passo 4

Letra d:

A estatística de teste F deve ser calculada como segue.

Nós sabemos:

f = S S R / k S S E / ( n - p )

Vamos calcular:

S S E = 0.00018093262048467115

Em seguida, calcule a partir dos dados:

S S T = y τ y - ∑ i = 1 n   y i 2 n = 0.004326468749999982

e então segue:

S S R = S S T - S S E = 0.004145536129515311

Portanto, a estatística F é

f = 0.004145536129515311 / 2 0.00018093262048467115 / ( 32 - 3 ) ≈ 332.22

O valor p para o teste de significância da regressão é então obtido como ( F ∼ F ( k , n - p ) ) :

Valor P   = P ( F > 332.22 ) ≈ 0

Concluímos que a regressão é significativa porque rejeitamos a hipótese nula devido ao valor p minúsculo obtido acima. Calcule as estatísticas de teste para os coeficientes e os valores p correspondentes:

t 1 = β ^ 1 - 0 se ⁡ β ^ 1 = 18.968 , p 1 ≈ 0 t 2 = β ^ 2 - 0 se ⁡ β ^ 2 = 6.615 , p 2 ≈ 2.99 × 10 - 7

Ambas as variáveis ​​contribuem evidentemente para o modelo.

Passo 5

Letra e:

Vamos denotar com σ 1 e σ 2 as estimativas de variância do primeiro e do segundo modelo, respectivamente. Vamos calcular:

σ 1 = S S E ( 1 ) n - p 1 = 0.00013421012860158482 32 - 6 = 5.16 × 10 - 16 σ 2 = S S E ( 2 ) n - p 2 = 0.00018093262048467115 32 - 3 = 6.239 × 10 - 16

Resposta

  1. A regressão é significativa. V a l o r   P   1 . 1 × 1 0 - 16 < 0.05
  2. Apenas para a variável x 5 não podemos rejeitar a hipótese nula. Outras variáveis ​​contribuem para o modelo.
  3. y = 0.01091791 + 0.00269096 x 1 + 0.00935551 x 2
  4. A regressão é significativa e ambas as variáveis x 1 e x 2 contribuem para o modelo.
  5. σ 1 = S S E ( 1 ) n - p 1 = 0.00013421012860158482 32 - 6 = 5.16 × 10 - 16 4 σ 2 = S S E ( 2 ) n - p 2 = 0.00018093262048467115 32 - 3 = 6.239 × 10 - 16
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