Enunciado

Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta: determine o seguinte:

Determine o seguinte:

Passo 1

Oi gente, vamos resolver essa questão aqui que é gigante, mas calma, que não é tão difícil quanto parece!

A função de massa de probabilidade de massa conjunta é dada na tabela:

A função de massa de probabilidade f X Y ( x ) da variável aleatória discreta ( X , Y ) com intervalo R X Y satisfaz o seguinte:

∑ ( x , y ) ∈ R X Y   f X Y ( x , y ) = 1

O seguinte é válido:

∑ x , y ∈ R X Y   f X Y ( x , y ) = ∑ x   ∑ y   f X Y x , y = = 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 4 + 1 4 = 1

Aqui usamos que f X Y ( x , y ) = 0 para a combinação de x e y de modo que ( x , y ) ∉ { ( 0,0 ) ,   ( 0,1 ) ,   ( 1,0 ) , ( 1,1 ) , ( 2,2 ) }

Isso significa que a função f X Y é a função de massa de probabilidade.

Passo 2

Letra a:

P ( X < 0.5 , Y < 1.5 ) = P ( X = 0 , { Y = 0 } ∪ { Y = 1 } ) = = P ( X = 0 , Y = 0 ) + P ( X = 0 , Y = 1 ) = = f X Y ( 0,0 ) + f X Y ( 0,1 ) = 1 8 + 1 4 = 3 8

Aqui usamos o fato de que, uma vez que x ∈ { 0 , 1,2 } e x < 0.5 , x tem que ser 0. Da mesma forma para y, pode ser 1 ou 0, que pode ser representado como a união de dois eventos.

A probabilidade de união de eventos disjuntos é a soma das probabilidades dos eventos disjuntos. P ( A ∪ B ) = P ( A ) P ( B ) se A e B são disjuntos.

Passo 3

Letra b:

P X ≤ 1 = f X Y ( 0,0 ) + f X Y ( 0,1 ) + f X Y ( 1,0 ) + f X Y ( 1,1 ) = 3 4

Passo 4

Letra c:

P ( X < 1.5 ) = P ( X ≤ 1 ) = 3 4

Passo 5

Letra d:

P X > 0.5 , Y < 1.5 = f X Y ( 1,0 ) + f X Y ( 1,1 ) = 3 8

Mesma coisa acontece na letra a

Passo 6

Letra e:

A expectativa matemática da variável aleatória discreta X é a soma do produto de cada possibilidade x ∈ R X na faixa de X com sua probabilidade P ( X = x ) :

E ( X ) = ∑ x P ( X = x )

Calculamos a distribuição marginal por definição:

f X ( x ) = P ( X = x ) = ∑ y ∈ R Y   P ( X = x , Y = y )

Combinando essas duas equações, temos:

E ( X ) = ∑ x ∈ R X   x P ( X = x ) = E ( X ) = ∑ x ∈ R X   x ⋅ ∑ y ∈ R Y   P ( X = x , Y = y ) = = ∑ x ∈ R   ∑ y ∈ R Y   x ⋅ P ( X = x , Y = y )

E,

E ( X ) = 0 × 3 8 + 1 × 3 8 + 2 × 1 4 = 7 8 E ( Y ) = 0 × 3 8 + 1 × 3 8 + 2 × 1 4 = 7 8

Passo 7

V ( X ) é a variância da variável aleatória X definida como:

V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) 2 = E X 2 - ( E ( X ) ) 2

Para calcular E ( X 2 ) , observe que X 2 é uma variável aleatória discreta e que pode ser escrita como g ( X ) = X 2 , sabemos que:

E ( g ( X ) ) = ∑ x   g ( x ) P ( X = x )

Agora calculamos E ( X 2 ) e E ( Y 2 ) como:

E X 2 = 0 2 × P X = 0 + 1 2 × P X = 1 + 2 2 × P X = 2 = = 0 2 × 3 8 + 1 2 × 3 8 + 2 2 × 1 4 = 88 64 E Y 2 = 0 2 × 3 8 + 1 2 × 3 8 + 2 2 × 1 4 = 88 64

Você pode o cálculo das probabilidade P ( X = x ) como uma distribuição marginal.

Agora podemos calcular as variâncias pela definição:

V ( X ) = 88 64 - 7 8 2 = 39 64 V ( Y ) = 88 64 - 7 8 2 = 39 64

Passo 8

Letra f:

Calculamos as distribuições marginais por definição:

f X ( x ) = P ( X = x ) = ∑ y ∈ R Y   P ( X = x , Y = y )

E já explicamos como calculá-lo, então:

f X ( 0 ) = 3 8 , f X ( 1 ) = 3 8 , f X ( 2 ) = 2 8

Passo 9

Letra g:

Precisamos encontrar a distribuição da variável aleatória Y | X = 1 . A partir da definição de probabilidade de condicional, temos:

P ( A ∣ B ) = P ( A , B ) P ( B )

onde são A e B são eventos, e P ( B ) > 0 . Para duas variáveis ​​aleatórias X e Y, a distribuição de probabilidade condicional X | Y = y pode ser calculado como:

f X ∣ γ = y ( x ) = f X Y ( x , y ) f Y ( y )

Portanto, o seguinte é verdadeiro:

f Y ∣ x = 1 ( y ) = f X Y ( 1 , y ) f X ( 1 ) , f X ( 1 ) = 3 8

Calculando os valores para todos os y ∈ { 0 , 1,2 } e obtemos a distribuição. Da tabela da função de massa de probabilidade conjunta, obtemos os valores:

f Y ∣ x = 1 ( 0 ) = 1 8 3 8 = 1 3 f Y ∣ x = 1 ( 1 ) = 1 4 3 8 = 2 3 f Y ∣ x = 1 ( 2 ) = 0

Passo 10

Letra h:

Calculamos pela definição acima:

E ( Y ∣ x = 1 ) = 0 × 1 3 + 1 × 2 3 + 2 × 0 = 2 3

Passo 11

Letra i:

Para que X e Y sejam independentes, o seguinte tem que ser verdade para todo x, y:

seja  x = 0  e  y = 0 ⟹ 1 4 ≠ 3 8 ⋅ 3 8

e não é verdade.

Passo 12

Letra j:

A correlação entre as variáveis ​​aleatórias X e Y é definido como:

ρ X Y = c o v ⁡ ( X , Y ) V ( X ) V ( Y )

onde V ( X ) é a variância da variável aleatória X definida como:

V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) 2 = E X 2 - ( E ( X ) ) 2

e a covariância 'entre as variáveis ​​aleatórias X e Y é

σ X Y = c o v ⁡ ( X , Y ) = E [ ( X - E ( X ) ) ( Y - E ( Y ) ) ] = E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y )

Para calcular E ( X Y ) ), observe que XY é uma variável aleatória discreta e que pode ser escrito como f ( X , Y ) = X Y , então, sabemos que

E ( f ( X , Y ) ) = ∑ x   ∑ y   f ( x , y ) P ( X = x , Y = y )

Disso, calculamos E ( X Y ) como:

E X Y = 1 × 1 × 1 4 + 2 × 2 × 1 4 = 5 4

Evitamos aqueles que contêm probabilidade zero ou zero como valor. Usando o que achamos na letra e, temos todos os valores, então podemos calcular:

c o v ⁡ ( X , Y ) = 5 4 - 7 8 ⋅ 7 8 = 0.4844 ρ X Y = 0.4844 0.6094 ⋅ 0.6094 = 0.7949

Resposta

  1. a função f X Y é a função de massa de probabilidade.
  1. P X < 0.5 , Y < 1.5 = 3 8
  2. P X ≤ 1 = 3 4
  3. P X < 1.5 = 3 4
  4. P X > 0.5 , Y < 1.5 = 3 8
  5. E X = E Y = 7 8 , V X = V Y = 39 64
  6. f X 0 = 3 8 , f X 1 = 3 8 , f X 2 = 2 8 ⋅
  7. f Y ∣ x = 1 0 = 1 3 , f Y ∣ x = 1 1 = 2 3 , f Y ∣ x = 1 2 = 0
  8. E Y X = 1 = 2 3 ;
  9. Não são independentes
  10. ρ X Y = 0.7949
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