Enunciado

Sorteiam-se bolas de uma urna que contém inicialmente 20 bolas vermelhas e 10 bolas azuis.

(a) Qual é a probabilidade de que todas as bolas vermelhas sejam retiradas antes de todas as azuis?

Agora suponha que a urna contenha inicialmente 20 bolas vermelhas, 10 bolas azuis e 8 bolas verdes.(b) Agora, qual é a probabilidade de que todas as bolas vermelhas sejam retiradas antes das bolas azuis?(c) Qual é a probabilidade de que as cores se esgotem na ordem azul, vermelho e verde?

(d) Qual é a probabilidade de que o grupo de bolas azuis seja o primeiro dos três grupos a ser removido?

Passo 1

(a) Esta é a probabilidade de que a bola retirada seja azul. Como cada uma das 30 bolas tem a mesma probabilidade de ser a última bola retirada, a probabilidade é de 1 / 3 .

Passo 2

(b) Esta é a probabilidade de que a última bola vermelha ou azul a ser retirada seja uma bola azul. Como é igualmente provável que ela seja qualquer uma das 30 bolas vermelhas ou azuis, a probabilidade de que ela seja azul é de 1 / 3 .

Passo 3

(c) Suponha que B 1 , R 2 e G 3 representem, respectivamente, os eventos em que a primeira bola retirada é azul, a segunda é vermelha, e a terceira é verde. Entāo

P B 1 R 2 G 3 = P G 3 P R 2 ∣ G 3 P B 1 ∣ R 2 G 3 = 8 38 20 30 = 8 57

onde P G 3 é justamente a probabilidade de que a última bola seja verde. P R 2 ∣ G 3 é calculada observando-se que, dado que a última bola é verde, cada uma das vinte bolas vermelhas e 10 bolas azuis tem a mesma probabilidade de ser a última do grupo a ser retirada. Assim, a probabilidade de que ela seja uma das bolas vermelhas é igual a 20/30 (naturalmente, P B 1 ∣ R 2 G 3 = 1 ).

Passo 4

(d)  P B 1 = P B 1 G 2 R 3 + P B 1 R 2 G 3 = 20 38 8 18 + 8 57 = 64 171

Resposta

a . 1 / 3 .

b. 1 / 3 .

c. 20/30

d.   64 171

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