Distribuição Exponencial

Teoria Completa

Vamos pra mais um modelo importante de v.a. contínuas, o modelo exponencial.

Dizemos que a v.a. X segue um modelo exponencial, se sua função de densidade é dada por:

f ( x ) 0   ,                                   s e   x < 0 λ e - λ x   ,                 s e   x ≥ 0

λ é uma constante positiva.

Além disso, temos:

E X = 1 λ

Var X = 1 λ 2

Do mesmo jeito, se a gente fizer as integrais necessárias pra achar a FDA, vamos ter:

F x = 0   ,                                               s e   x ≤ 0 1 - e - λ x   ,                 s e   x > 0

Embaixo um exemplo dessas funções para λ = 1 2 .

Notação: Para indicar que a v.a. X segue esse modelo escrevemos X   ~   Exp ( λ )

Perda de memória da exponencial

Imagina que alguém chega pra você e fala que X é uma variável aleatória que dá o tempo de vida de um componente eletrônico! E que X segue uma distribuição exponencial com média de 2 anos.

Ai o cara te diz que o componente já tá funcionando a 2 anos e pergunta qual a probabilidade dele durar pelo menos mais 1 ano! Como faríamos isso?

Bom, essa afirmativa ai em cima é probabilidade condicional cuspida e escarrada né? Ele ta perguntando o seguinte: P X > 3 X > 2 =   ?

Beleza? Então vamos quebrar isso naquela formuleta marota da condicional: P X > 3 X > 2 = P X > 3 ∩ X > 2 P X > 2

Repara que a interseção de X > 3 com X > 2 é o prório X > 3 né? Então: P X > 3 X > 2 = P X > 3 P X > 2

Se a gente pegar a fórmula da probabilidade acumulada da Poisson:

P X ≤ t = 1 - e - λ t

P X > t = 1 - 1 - e - λ t = e - λ t

onde

E X = 2 = 1 λ ∴ λ = 0,5

Logo,

P X > 3 X > 2 = P X > 3 P X > 2 = e - 0,5 ⋅ 3 e - 0,5 ⋅ 2 = e - 0,5 ⋅ 1 = P X > 1

OPA! Que treta é essa aí?! Se ta me dizendo que a probabilidade do meu aparelho velho funcionar pelo menos 3 anos sabendo que ele já funcionou por 2 é a mesma de eu comprar um aparelho novinho e ele funcionar por pelo menos 1 ano?

É essa parada aí mesmo, engole esse angu filhão hahaha. Essa é a tal de perda de memória da Exponencial. De forma geral,

P X > x + t X > x = P X > t

Relação Exponencial-Poisson

Existe uma relação entre a distribuição exponencial e a de Poisson.

Seja X a v.a. que representa o número de ocorrências de um evento de determinado tipo ao longo de um intervalo de tempo t e T a v.a. que representa o intervalo de tempo entre a ocorrência de dois desses eventos consecutivos.

Se T segue uma distribuição exponencial → T   ~   Exp λ

Então X segue o modelo Poisson → X   ~   Poisson λ t

Ou seja:

P T ≤ t = 1 - e - λ t             e             P X = k = e - λ t λ t k k !

A diferença aqui é que X não será a quantidade de eventos que acontecem em um tempo específico, mas sim, a quantidade de eventos que acontecem em um intervalo de tempo.

Nota: X = 0 significa que não acontece nenhum evento no intervalo ( 0 , t ) , e isso só acontece se T > t , ou seja, se a distância entre dois eventos for maior que o intervalo que a gente quer. Então P X = 0 = P ( T > t ) .

Exemplo: Suponha que ocorrem em média 2 assassinatos numa cidade por dia. Se M representa o número de assassinatos e segue o modelo de Poisson, e T representa o intervalo de tempo, em dias, entre crimes sucessivos. Forneça a expressão matemática da função de densidade de T .

Solução: como são 2 assassinatos por dia →     λ = 2

Então:

T   ~   Exp 2

Por isso, temos a nossa função de densidade:

f t = 2 e - 2 t     ,     para   t ≥ 0

Conselho: nunca visite essa cidade. Muahaha...

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P2-2013.1-1c)

Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

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Passo 1

Bom, uma distribuição exponencial é uma distribuição contínua que serve para analisar tempos de duração de um determinado experimento.

Um exemplo de aplicação real seria o tempo entre chamadas em um CallCenter.

Resposta

Exercício Resolvido #2

CEFET-LISTA VA- REGINA-10

O tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas em seu computador é distribuído exponencialmente, com uma média de duas horas.

  1. Qual é a probabilidade de você não receber uma mensagem durante o período de duas horas?
  2. Se você não tiver recebido uma mensagem nas primeiras quatro horas, qual será a probabilidade de você não receber uma mensagem nas próximas 2 horas?
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Passo 1

(a)

Se X é a v.a. que representa o tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas.

X   ~   E x p   λ

Ele diz que a média é de 2 horas, e a gente sabe que a expressão para a média de uma distribuição exponencial é:

E X = 1 λ

Então:

1 λ = 2 → λ = 0,5

Passo 2

Agora queremos calcular a probabilidade de não haver ligações num período de 2 horas:

t = 2

Temos que usar a relação da exponencial com Poisson:

P X = k = e - λ t λ t k k !

Passo 3

Agora só substituir, com k = 0   l i g a ç õ e s .

P X = 0 = e - 0,5 × 2 . - 0,5 t 0 0 !

P X = 0 = e - 1

≅ 0,3679

Passo 4

A probabilidade de não receber ligações em um intervalo de 2 horas continua sendo o mesmo, independente do que aconteceu antes:

P X = 0 ≅ 0,3679

Resposta

a   0,3679

b   0,3679

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P1-2014.2.-3B

Por saber que há uma grade procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

b) O prazo necessário para realizar a obra pode ser encarado como uma variável aleatória com distribuição Exponencial. Com base na sua experiência, a construtora presume que uma obra como essa levaria em média 18 meses para ficar pronta. Que prazo para entrega das chaves, a partir do início da obra, deve ser informado aos possíveis interessados na compra da casa? Admita que a construtora deseja ser capaz de cumprir esse prazo com 80 %   de probabilidade.

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Passo 1

(b)

O tempo pra realização da obra segue uma distribuição Exponencial com média 18 meses.

A gente sabe que uma distribuição Exponencial tem média, ou esperança:

E T = 1 λ

Onde T →   tempo pra conclusão da obra.

E o texto diz que essa média é de 18 meses.

1 λ = 18 → λ = 1 18

T   ~   E x p   1 18

Precisamos ver qual o tempo que deve ser informado pra conclusão da obra, pra que a construtora cumpra 80 % dos casos.

P T < t = 0,80

Passo 2

Vamos precisar da função acumulada da Exponencial, que é:

F t = 1 - e - λ t

Substituindo λ = 1 18

F t = 1 - e - 1 18 t

Queremos o t que nos dá F t = 0,80 .

1 - e - t 18 = 0,80

Passo 3

Resolvendo essa equação aí:

e - t 18 = 0,20

Aplica l n dos dois lados:

- t 18 = ln ⁡ 0,20

- t 18 = - 1,609

t ≅ 29   m e s e s

Arredondei pra cima.

Resposta

b ≅ 29   m e s e s

Exercício Resolvido #4

UFRJ-P1-2014.1-3a

Ocorrem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, X , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que T seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

  1. Forneça a expressão matemática da função de densidade de T ;

Obs.: Lembre-se de que existe uma relação entre os modelos de Poisson e Exponencial.

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Passo 1

Temos:

X :   desintegrações por minuto

T :   intervalo, em minutos, entre desintegrações consecutivas

Se a gente sabe que acontecem, em média, 10 desintegrações por minuto, e esperança de T é E T = 1 10 s.

Por outro lado,

E T = 1 λ

Então, λ = 10 :

X   ~   P o i s s o n λ = 10

A gente aprendeu a relação entre Poisson e Exponencial, que se encaixa perfeitamente nesse caso, então:

T   ~   E x p   10

Desse jeito, a função de densidade de T vai ser:

f t = 10 ⋅ e - 10 t       ,       para   t ≥ 0

Resposta

a   f t = 10 ⋅ e - 10 t       ,     para   t ≥ 0

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