Distribuição Exponencial

Teoria Completa

Fala Aíí!!!

Imagina que você comprou um celular, gastou um bom dinheiro nele, super caro!

Mas sabe como é a vida né, daqui a um certo tempo, imaginando que você não perdeu o celular (ou, foi roubado rs), pode ser que ele pare de funcionar!

Isso é normal, os aparelhos têm uma certa vida-útil, e com o celular é igual.

Digamos então, que você queira saber qual a probabilidade do seu aparelho celular continuar funcionando depois de 3 anos que você o comprou? Sabendo que em média, esse aparelho dura 2 anos.

Para fazer isso, utilizaremos a distribuição exponencial! Vamos lá?

Distribuição exponencial

A distribuição exponencial é comumente usada para modelar probabilidades que vão decaindo com o tempo (assim como a probabilidade do seu celular continuar funcionando).

Esse decaimento, é dado por uma exponencial (daí, o nome dãã)

A gente modela essa função de densidade da seguinte forma:

f x = 0   ,                                   s e   x < 0 λ e - λ x   ,                 s e   x ≥ 0

No caso do nosso celular, a gente teria a seguinte variável:

X : t e m p o   d e   d u r a ç ã o   d o   c e l u l a r

E dizemos que essa variável é dada por

X ~ E x p ( λ )

Beleza?! E esse λ aí, quem é ele?

Para calculá-lo, a gente vai usar que a esperança e o desvio padrão, nesse modelo, é dado por:

E X = 1 λ

V a r X = 1 λ 2

Lembrando que, sempre que falamos de esperança, estamos falando da média.

Show?

No caso do nosso celular, a esperança era de que ele durasse só 2 anos, logo:

E X = 2   a n o s

1 λ = 2   ∴ λ = 1 2

Com isso, temos a função de densidade para o celular!!

f x = 0   ,                                   s e   x < 0 1 2 e -   1 2 x   ,                 s e   x ≥ 0

E no nosso exemplo, queremos a probabilidade de que o aparelho dure mais que 3 anos:

P ( X ≥ 3 )

Se você reparar, podemos abordar esse problema de uma forma mais fácil:

P X ≥ 3 = 1 - P ( X < 3 )

Repare que dessa forma estamos “tirando” toda a possibilidade do celular durar menos de 3 anos, sacou?

Tá... mas como resolvo essa parada aí?

Podemos usar a famosa Função de Distribuição Acumulada, meu caro Watson!

Função de distribuição acumulada

A Função de Distribuição Acumulada nos dá os valores somados de todas as probabilidades até um certo ponto, que é simbolizado por P X ≤ x , para todo x real. Então, vamos utilizá-la aqui para calcular a probabilidade de que o aparelho dure mais que 3 anos:

P X ≥ 3 = 1 - P X < 3

Então, se a gente fizer as integrais necessárias pra achar a FDA, vamos ter essa carinha aqui:

F x = 0   ,                                               s e   x ≤ 0 1 - e - λ x   ,                 s e   x > 0

Esse é a carinha da FDA da distribuição exponencial, belezura?!

Maas pera, se você reparar, nosso exemplo já temos o valor de λ = 1 2 . Assim,

F x = 0   ,                                               s e   x ≤ 0 1 - e - 1 2 x   ,                 s e   x > 0

Onde o gráfico dessa função teria essa carinha:

Dessa forma, como queremos calcular a probabilidade do celular durar mais de 3 anos,

P X ≥ 3 = 1 - P X < 3

Onde P X < 3 é a nossa FDA, ou seja P X < 3 = F 3 .

Assim,

P X ≥ 3 = 1 - P X < 3 = 1 - 1 - e - 3 2 = e - 3 2 = 0,223

Beleza?!!?!?

Perda de memória da exponencial

Agora vamos ver a situação do celular de uma forma um pouco diferente.

Sabendo que X é uma variável aleatória que dá o tempo de duração de um celular e que segue uma distribuição exponencial com média de 2 anos, digamos que alguém te diz que o celular já tá funcionando há 2 anos e pergunta qual a probabilidade dele durar pelo menos mais 1 ano! Como faríamos isso?

Bom, essa afirmativa ai em cima é probabilidade condicional cuspida e escarrada, né? Ele ta perguntando o seguinte: P X > 3 X > 2 =   ?

Beleza? Então vamos quebrar isso naquela formuleta marota da condicional: P X > 3 X > 2 = P X > 3 ∩ X > 2 P X > 2

Repara que a interseção de X > 3 com X > 2 é o prório X > 3 né? Então: P X > 3 X > 2 = P X > 3 P X > 2

Se a gente pegar a fórmula da probabilidade acumulada da exponencial:

P X ≤ t = 1 - e - λ t

Que podemos escrever como

P X > t = 1 - 1 - e - λ t = e - λ t

onde

E X = 2 = 1 λ ∴ λ = 0,5

Logo,

P X > 3 X > 2 = P X > 3 P X > 2 = e - 0,5 ⋅ 3 e - 0,5 ⋅ 2 = e - 0,5 ⋅ 1

Opaaaaaaa, mas pera aí! Tá vendo esse e - 0,5 ⋅ 1 ? Isso é a mesma coisa que P ( X > 1 ) !!

Mas que treta é essa aí?! Você ta me dizendo que a probabilidade do meu aparelho velho funcionar pelo menos 3 anos sabendo que ele já funcionou por 2 é a mesma de eu comprar um aparelho novinho e ele funcionar por pelo menos 1 ano?

É essa parada aí mesmo, engole esse angu filhão hahaha. Essa é a tal de perda de memória da Exponencial. De forma geral,

P X > x + t X > x = P X > t

Show de bola?!

Relação Exponencial-Poisson

Existe uma relação entre a distribuição exponencial e a de Poisson.

Vamos ver um exemplo?!

Exemplo

Suponha que ocorrem em média 2 assassinatos numa cidade por dia. Se M representa o número de assassinatos por dia e segue o modelo de Poisson, e T representa o intervalo de tempo, em dias, entre assassinatos sucessivos. Forneça a expressão matemática da função de densidade de T .

A relação entre a distribuição exponencial e a de Poisson vai funcionar da seguinte forma:

S e   M   ~   Poisson λ t ,   e n t ã o   T   ~   Exp λ     e   v i c e - v e r s a !

Em outras palavras, se T segue uma distribuição exponencial, então M segue o modelo Poisson. Ou seja:

P T ≤ t = 1 - e - λ t             e             P M = k = e - λ t λ t k k !

Lembrando que a primeira fórmula é a FDA da exponencial, e a segunda é a função de probabilidade da Poisson, belezinha?!

A diferença aqui é que λ não será a quantidade de eventos que acontecem em um tempo específico, mas sim, a quantidade de eventos que acontecem em um intervalo de tempo.

Assim, no nosso exemplo, como são 2 assassinatos por dia →     λ = 2

Então:

T   ~   Exp 2

Por isso, temos a nossa função de densidade:

f t = 2 e - 2 t     ,     para   t ≥ 0

Conselho: nunca visite essa cidade. Muahaha...

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P2-2013.1-1c)

Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, uma distribuição exponencial é uma distribuição contínua que serve para analisar tempos de duração de um determinado experimento.

Um exemplo de aplicação real seria o tempo entre chamadas em um CallCenter.

Resposta

Exercício Resolvido #2

CEFET-LISTA VA- REGINA-10

O tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas em seu computador é distribuído exponencialmente, com uma média de duas horas.

  1. Qual é a probabilidade de você não receber uma mensagem durante o período de duas horas?
  2. Se você não tiver recebido uma mensagem nas primeiras quatro horas, qual será a probabilidade de você não receber uma mensagem nas próximas 2 horas?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Se X é a v.a. que representa o tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas.

X   ~   E x p   λ

Ele diz que a média é de 2 horas, e a gente sabe que a expressão para a média de uma distribuição exponencial é:

E X = 1 λ

Então:

1 λ = 2 → λ = 0,5

Passo 2

Agora queremos calcular a probabilidade de não haver ligações num período de 2 horas:

t = 2

Temos que usar a relação da exponencial com Poisson:

P X = k = e - λ t λ t k k !

Passo 3

Agora só substituir, com k = 0   l i g a ç õ e s .

P X = 0 = e - 0,5 × 2 . - 0,5 t 0 0 !

P X = 0 = e - 1

≅ 0,3679

Passo 4

A probabilidade de não receber ligações em um intervalo de 2 horas continua sendo o mesmo, independente do que aconteceu antes:

P X = 0 ≅ 0,3679

Resposta

a   0,3679

b   0,3679

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P1-2014.2.-3B

Por saber que há uma grade procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

b) O prazo necessário para realizar a obra pode ser encarado como uma variável aleatória com distribuição Exponencial. Com base na sua experiência, a construtora presume que uma obra como essa levaria em média 18 meses para ficar pronta. Que prazo para entrega das chaves, a partir do início da obra, deve ser informado aos possíveis interessados na compra da casa? Admita que a construtora deseja ser capaz de cumprir esse prazo com 80 %   de probabilidade.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(b)

O tempo pra realização da obra segue uma distribuição Exponencial com média 18 meses.

A gente sabe que uma distribuição Exponencial tem média, ou esperança:

E T = 1 λ

Onde T →   tempo pra conclusão da obra.

E o texto diz que essa média é de 18 meses.

1 λ = 18 → λ = 1 18

T   ~   E x p   1 18

Precisamos ver qual o tempo que deve ser informado pra conclusão da obra, pra que a construtora cumpra 80 % dos casos.

P T < t = 0,80

Passo 2

Vamos precisar da função acumulada da Exponencial, que é:

F t = 1 - e - λ t

Substituindo λ = 1 18

F t = 1 - e - 1 18 t

Queremos o t que nos dá F t = 0,80 .

1 - e - t 18 = 0,80

Passo 3

Resolvendo essa equação aí:

e - t 18 = 0,20

Aplica l n dos dois lados:

- t 18 = ln ⁡ 0,20

- t 18 = - 1,609

t ≅ 29   m e s e s

Arredondei pra cima.

Resposta

b ≅ 29   m e s e s

Exercício Resolvido #4

UFRJ-P1-2014.1-3a

Ocorrem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, X , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que T seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

  1. Forneça a expressão matemática da função de densidade de T ;

Obs.: Lembre-se de que existe uma relação entre os modelos de Poisson e Exponencial.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos:

X :   desintegrações por minuto

T :   intervalo, em minutos, entre desintegrações consecutivas

Se a gente sabe que acontecem, em média, 10 desintegrações por minuto, e esperança de T é E T = 1 10 s.

Por outro lado,

E T = 1 λ

Então, λ = 10 :

X   ~   P o i s s o n λ = 10

A gente aprendeu a relação entre Poisson e Exponencial, que se encaixa perfeitamente nesse caso, então:

T   ~   E x p   10

Desse jeito, a função de densidade de T vai ser:

f t = 10 ⋅ e - 10 t       ,       para   t ≥ 0

Resposta

a   f t = 10 ⋅ e - 10 t       ,     para   t ≥ 0

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