Teoria Completa
Fala Aíí!!!
Imagina que você comprou um celular, gastou um bom dinheiro nele, super caro!
Mas sabe como é a vida né, daqui a um certo tempo, imaginando que você não perdeu o celular (ou, foi roubado rs), pode ser que ele pare de funcionar!
Isso é normal, os aparelhos têm uma certa vida-útil, e com o celular é igual.
Digamos então, que você queira saber qual a probabilidade do seu aparelho celular continuar funcionando depois de 3 anos que você o comprou? Sabendo que em média, esse aparelho dura 2 anos.
Para fazer isso, utilizaremos a distribuição exponencial! Vamos lá?
Distribuição exponencial
A distribuição exponencial é comumente usada para modelar probabilidades que vão decaindo com o tempo (assim como a probabilidade do seu celular continuar funcionando).
Esse decaimento, é dado por uma exponencial (daí, o nome dãã)
A gente modela essa função de densidade da seguinte forma:
No caso do nosso celular, a gente teria a seguinte variável:
E dizemos que essa variável é dada por
Beleza?! E esse aí, quem é ele?
Para calculá-lo, a gente vai usar que a esperança e o desvio padrão, nesse modelo, é dado por:
Lembrando que, sempre que falamos de esperança, estamos falando da média.
Show?
No caso do nosso celular, a esperança era de que ele durasse só 2 anos, logo:
Com isso, temos a função de densidade para o celular!!
E no nosso exemplo, queremos a probabilidade de que o aparelho dure mais que 3 anos:
Se você reparar, podemos abordar esse problema de uma forma mais fácil:
Repare que dessa forma estamos “tirando” toda a possibilidade do celular durar menos de 3 anos, sacou?
Tá... mas como resolvo essa parada aí?
Podemos usar a famosa Função de Distribuição Acumulada, meu caro Watson!
Função de distribuição acumulada
A Função de Distribuição Acumulada nos dá os valores somados de todas as probabilidades até um certo ponto, que é simbolizado por para todo real. Então, vamos utilizá-la aqui para calcular a probabilidade de que o aparelho dure mais que 3 anos:
Então, se a gente fizer as integrais necessárias pra achar a FDA, vamos ter essa carinha aqui:
Esse é a carinha da FDA da distribuição exponencial, belezura?!
Maas pera, se você reparar, nosso exemplo já temos o valor de Assim,
Onde o gráfico dessa função teria essa carinha:
Dessa forma, como queremos calcular a probabilidade do celular durar mais de 3 anos,
Onde é a nossa FDA, ou seja .
Assim,
Beleza?!!?!?
Perda de memória da exponencial
Agora vamos ver a situação do celular de uma forma um pouco diferente.
Sabendo que é uma variável aleatória que dá o tempo de duração de um celular e que segue uma distribuição exponencial com média de 2 anos, digamos que alguém te diz que o celular já tá funcionando há 2 anos e pergunta qual a probabilidade dele durar pelo menos mais 1 ano! Como faríamos isso?
Bom, essa afirmativa ai em cima é probabilidade condicional cuspida e escarrada, né? Ele ta perguntando o seguinte:
Beleza? Então vamos quebrar isso naquela formuleta marota da condicional:
Repara que a interseção de com é o prório né? Então:
Se a gente pegar a fórmula da probabilidade acumulada da exponencial:
Que podemos escrever como
onde
Logo,
Opaaaaaaa, mas pera aí! Tá vendo esse Isso é a mesma coisa que !!
Mas que treta é essa aí?! Você ta me dizendo que a probabilidade do meu aparelho velho funcionar pelo menos 3 anos sabendo que ele já funcionou por 2 é a mesma de eu comprar um aparelho novinho e ele funcionar por pelo menos 1 ano?
É essa parada aí mesmo, engole esse angu filhão hahaha. Essa é a tal de perda de memória da Exponencial. De forma geral,
Show de bola?!
Relação Exponencial-Poisson
Existe uma relação entre a distribuição exponencial e a de Poisson.
Vamos ver um exemplo?!
Exemplo
Suponha que ocorrem em média 2 assassinatos numa cidade por dia. Se representa o número de assassinatos por dia e segue o modelo de Poisson, e representa o intervalo de tempo, em dias, entre assassinatos sucessivos. Forneça a expressão matemática da função de densidade de .
A relação entre a distribuição exponencial e a de Poisson vai funcionar da seguinte forma:
Em outras palavras, se segue uma distribuição exponencial, então segue o modelo Poisson. Ou seja:
Lembrando que a primeira fórmula é a FDA da exponencial, e a segunda é a função de probabilidade da Poisson, belezinha?!
A diferença aqui é que não será a quantidade de eventos que acontecem em um tempo específico, mas sim, a quantidade de eventos que acontecem em um intervalo de tempo.
Assim, no nosso exemplo, como são 2 assassinatos por dia
Então:
Por isso, temos a nossa função de densidade:
Conselho: nunca visite essa cidade. Muahaha...
Exercício Resolvido #1
Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.
Passo 1
Bom, uma distribuição exponencial é uma distribuição contínua que serve para analisar tempos de duração de um determinado experimento.
Um exemplo de aplicação real seria o tempo entre chamadas em um CallCenter.
Resposta
Exercício Resolvido #2
O tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas em seu computador é distribuído exponencialmente, com uma média de duas horas.
- Qual é a probabilidade de você não receber uma mensagem durante o período de duas horas?
- Se você não tiver recebido uma mensagem nas primeiras quatro horas, qual será a probabilidade de você não receber uma mensagem nas próximas 2 horas?
Passo 1
(a)
Se é a v.a. que representa o tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas.
Ele diz que a média é de 2 horas, e a gente sabe que a expressão para a média de uma distribuição exponencial é:
Então:
Passo 2
Agora queremos calcular a probabilidade de não haver ligações num período de 2 horas:
Temos que usar a relação da exponencial com Poisson:
Passo 3
Agora só substituir, com .
Passo 4
A probabilidade de não receber ligações em um intervalo de 2 horas continua sendo o mesmo, independente do que aconteceu antes:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Por saber que há uma grade procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.
b) O prazo necessário para realizar a obra pode ser encarado como uma variável aleatória com distribuição Exponencial. Com base na sua experiência, a construtora presume que uma obra como essa levaria em média meses para ficar pronta. Que prazo para entrega das chaves, a partir do início da obra, deve ser informado aos possíveis interessados na compra da casa? Admita que a construtora deseja ser capaz de cumprir esse prazo com de probabilidade.
Passo 1
(b)
O tempo pra realização da obra segue uma distribuição Exponencial com média meses.
A gente sabe que uma distribuição Exponencial tem média, ou esperança:
Onde tempo pra conclusão da obra.
E o texto diz que essa média é de meses.
Precisamos ver qual o tempo que deve ser informado pra conclusão da obra, pra que a construtora cumpra dos casos.
Passo 2
Vamos precisar da função acumulada da Exponencial, que é:
Substituindo
Queremos o que nos dá .
Passo 3
Resolvendo essa equação aí:
Aplica dos dois lados:
Arredondei pra cima.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Ocorrem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.
- Forneça a expressão matemática da função de densidade de ;
Obs.: Lembre-se de que existe uma relação entre os modelos de Poisson e Exponencial.
Passo 1
Temos:
Se a gente sabe que acontecem, em média, 10 desintegrações por minuto, e esperança de é s.
Por outro lado,
Então, :
A gente aprendeu a relação entre Poisson e Exponencial, que se encaixa perfeitamente nesse caso, então:
Desse jeito, a função de densidade de vai ser: