Distribuição Exponencial

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Teoria

Fala aí! Seja bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender tudo sobre Distribuição Exponencial?!

O que é uma Distribuição Exponencial?

A distribuição exponencial é comumente usada para modelar probabilidades que vão decaindo com o tempo de forma exponencial! Pra ficar mais claro como ela funciona vamos imaginar o seguinte exemplo:

Você comprou um celular e gastou um bom dinheiro nele! Mas sabe como é a vida né, eventualmente ele vai parar de funcionar. Então, você quer saber qual a probabilidade do aparelho continuar funcionando depois de 3 anos de uso, sabendo que em média, esse aparelho dura 2 anos. Concorda comigo que a medida que o tempo passa, a probabilidade do celular continuar funcionando diminui?!

Gráfico de probabilidade exponencial
Gráfico de probabilidade exponencial

Pra resolver esse problema vamos usar a distribuição exponencial! Vamos lá?

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Como Calcular a Distribuição Exponencial

Como falamos lá em cima, a gente usa a distribuição exponencial pra modelar probabilidades que vão diminuindo com o tempo, assim como a probabilidade do seu celular continuar funcionando!

Podemos modelar essa função de densidade da seguinte forma:

Função densidade
Função densidade

Show! Mas o que isso significa!? Pra saber isso e muito mais, confere esse vídeo super completo que o Responde Aí preparou pra você! 🧡

Voltando à nossa função densidade, nela temos. No caso do nosso exemplo:

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E dizemos que essa variável é dada por:

Onde:

Lembrando que, sempre que falamos de esperança, estamos falando da média. No caso do nosso celular, a esperança era de que ele durasse só 2 anos, logo:

Com isso, temos a função de densidade para o celular:

Função de densidade para o exemplo
Função de densidade para o exemplo

O gráfico dessa função tem essa carinha aqui:

Função densidade
Função densidade

E no nosso exemplo, queremos a probabilidade de que o aparelho dure mais que 3 anos. Se você reparar, podemos abordar esse problema de uma forma mais fácil:

Repare que dessa forma estamos “tirando” toda a possibilidade do celular durar menos de 3 anos, sacou? Para resolver isso podemos usar a famosa Função de Distribuição Acumulada!

Função de Distribuição Acumulada

A Função de Distribuição Acumulada nos dá os valores somados de todas as probabilidades até um certo ponto, que é simbolizado por , para todo real. Então, vamos utilizá-la aqui para calcular a probabilidade de que o aparelho dure mais que anos:

Então, se a gente fizer as integrais necessárias pra achar a FDA, vamos ter essa carinha aqui:

FDA
FDA

Maas pera, se você reparar, nosso exemplo já temos o valor de. Assim:

FDA para λ=1/2
FDA para λ=1/2

Onde o gráfico dessa função teria essa carinha:

Gráfico FDA
Gráfico FDA

Dessa forma, como queremos calcular a probabilidade do celular durar mais de anos:

Onde é a nossa FDA, ou seja . Assim:

Perda de Memória da Exponencial

Sabendo que é uma variável aleatória que dá o tempo de duração de um celular e que segue uma distribuição exponencial com média de anos, digamos que alguém te diz que o celular já tá funcionando há anos e pergunta qual a probabilidade dele durar pelo menos mais ano?

O que temos nesse caso acima é uma probabilidade condicional. Em outras palavras:

Repara que a interseção de com é o próprio né? Então:

Se a gente pegar a fórmula da probabilidade acumulada da exponencial:

Que podemos escrever como:

Onde:

Logo:

Então a probabilidade do meu aparelho velho funcionar pelo menos 3 anos sabendo que ele já funcionou por 2 é a mesma de eu comprar um aparelho novinho e ele funcionar por pelo menos 1 ano! Essa é a perda de memória da distribuição exponencial!

De uma forma geral, podemos dizer que:

Distribuição Exponencial e Distribuição de Poison

Existe uma relação entre a distribuição exponencial e a de Poisson. Vamos ver um exemplo?!

Suponha que ocorrem em média 2 assassinatos numa cidade por dia. Se M representa o número de assassinatos por dia e segue o modelo de Poisson, e T representa o intervalo de tempo, em dias, entre assassinatos sucessivos. Forneça a expressão matemática da função de densidade de T.

A relação entre a distribuição exponencial e a de Poisson vai funcionar da seguinte forma:

ã


Em outras palavras, se segue uma distribuição exponencial, então segue o modelo Poisson. Ou seja:

Lembrando que a primeira fórmula é a FDA da exponencial, e a segunda é a função de probabilidade da Poisson. A diferença aqui é que não será a quantidade de eventos que acontecem em um tempo específico, mas sim, a quantidade de eventos que acontecem em um intervalo de tempo. Assim, no nosso exemplo, como são 2 assassinatos por dia .Então:

Por isso, temos a nossa função de densidade:

Agora vamos praticar com exercícios?!

Função de Distribuição Acumulada

Perda de Memória da Exponencial

Distribuição Exponencial e Distribuição de Poison

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

Passo 1

Bom, uma distribuição exponencial é uma distribuição contínua que serve para analisar tempos de duração de um determinado experimento.

Um exemplo de aplicação real seria o tempo entre chamadas em um CallCenter.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

O tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas em seu computador é distribuído exponencialmente, com uma média de duas horas.

  1. Qual é a probabilidade de você não receber uma mensagem durante o período de duas horas?
  2. Se você não tiver recebido uma mensagem nas primeiras quatro horas, qual será a probabilidade de você não receber uma mensagem nas próximas 2 horas?

Passo 1

(a)

Se X é a v.a. que representa o tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas.

X   ~   E x p   λ

Ele diz que a média é de 2 horas, e a gente sabe que a expressão para a média de uma distribuição exponencial é:

E X = 1 λ

Então:

1 λ = 2 → λ = 0,5

Passo 2

Agora queremos calcular a probabilidade de não haver ligações num período de 2 horas:

t = 2

Temos que usar a relação da exponencial com Poisson:

P X = k = e - λ t λ t k k !

Passo 3

Agora só substituir, com k = 0   l i g a ç õ e s .

P X = 0 = e - 0,5 × 2 . - 0,5 t 0 0 !

P X = 0 = e - 1

≅ 0,3679

Passo 4

A probabilidade de não receber ligações em um intervalo de 2 horas continua sendo o mesmo, independente do que aconteceu antes:

P X = 0 ≅ 0,3679

Resposta

a   0,3679

b   0,3679

Exercício Resolvido #3

Por saber que há uma grade procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

b) O prazo necessário para realizar a obra pode ser encarado como uma variável aleatória com distribuição Exponencial. Com base na sua experiência, a construtora presume que uma obra como essa levaria em média 18 meses para ficar pronta. Que prazo para entrega das chaves, a partir do início da obra, deve ser informado aos possíveis interessados na compra da casa? Admita que a construtora deseja ser capaz de cumprir esse prazo com 80 %   de probabilidade.

Passo 1

(b)

O tempo pra realização da obra segue uma distribuição Exponencial com média 18 meses.

A gente sabe que uma distribuição Exponencial tem média, ou esperança:

E T = 1 λ

Onde T →   tempo pra conclusão da obra.

E o texto diz que essa média é de 18 meses.

1 λ = 18 → λ = 1 18

T   ~   E x p   1 18

Precisamos ver qual o tempo que deve ser informado pra conclusão da obra, pra que a construtora cumpra 80 % dos casos.

P T < t = 0,80

Passo 2

Vamos precisar da função acumulada da Exponencial, que é:

F t = 1 - e - λ t

Substituindo λ = 1 18

F t = 1 - e - 1 18 t

Queremos o t que nos dá F t = 0,80 .

1 - e - t 18 = 0,80

Passo 3

Resolvendo essa equação aí:

e - t 18 = 0,20

Aplica l n dos dois lados:

- t 18 = ln ⁡ 0,20

- t 18 = - 1,609

t ≅ 29   m e s e s

Arredondei pra cima.

Resposta

b ≅ 29   m e s e s

Exercício Resolvido #4

Ocorrem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, X , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que T seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

  1. Forneça a expressão matemática da função de densidade de T ;

Obs.: Lembre-se de que existe uma relação entre os modelos de Poisson e Exponencial.

Passo 1

Temos:

X :   desintegrações por minuto

T :   intervalo, em minutos, entre desintegrações consecutivas

Se a gente sabe que acontecem, em média, 10 desintegrações por minuto, e esperança de T é E T = 1 10 s.

Por outro lado,

E T = 1 λ

Então, λ = 10 :

X   ~   P o i s s o n λ = 10

A gente aprendeu a relação entre Poisson e Exponencial, que se encaixa perfeitamente nesse caso, então:

T   ~   E x p   10

Desse jeito, a função de densidade de T vai ser:

f t = 10 ⋅ e - 10 t       ,       para   t ≥ 0

Resposta

a   f t = 10 ⋅ e - 10 t       ,     para   t ≥ 0

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a variável aleatória tenha valores possíveis, 1, 2, 3, .. e que P X = r = k 1 - β r - 1,0β1 Determine a constante k e ache a moda desta distribuição.
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 ) P ( 4X6 ) P ( 2 = X5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(d) P (X = 7,X2) .
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(c) P ( 2 = X5 )