Teoria Completa
Função de Probabilidade
Fala Aí! Se liga nessa tabelinha abaixo. Montamos ela com a probabilidade de lançamento de duas moedas onde X é a quantidade de caras obtidas (Se quiser entender melhor como montar é só voltar no tópico de Introdução à viariável Discreta).
E se te perguntassem qual a probabilidade de se ter ? Ou qual a probabilidade de ser menor ou igual a 1? Como vamos trabalhar com os valores que temos para chegar a uma conclusão?
Nesse caso, a coluna à esquerda são os valores possíveis da v.a. e a coluna à direita são as probabilidades. Então a gente escreve assim:
Para resolver esse tipo de problema vamos estudar é a Função de Probabilidade, . O que essa função faz é associar a cada valor que a v.a. pode assumir à probabilidade dela assumir esse valor.
De uma maneira mais geral, a fórmula que define uma função de probabilidade é a seguinte:
Logo, sempre que a gente quiser a função de probabilidade de uma v.a. discreta podemos montar nossa tabelinha, identificando os possíveis valores que nossa v.a. pode assumir e as respectivas probabilidades.
Obs: Note que os valores de da tabela, somados, dão 1. Isso sempre tem que acontecer. Aí você pode dar uma conferida.
Função de Distribuição Acumulada
Outra função importante que vamos estudar é a FDA – Função de Distribuição Acumulada, .
Essa será dada por:
Antes de pirar com essa fórmula, vamos ver no mesmo exemplo como fica:
Como é discreta e só pode assumir os valores 0,1 ou 2, temos que
Assim, .
Vamos fazer a mesma coisa para os valores 1 e 2:
Agora esses últimos valores a gente olha na primeira tabela, ficando assim:
Assim,
Se a gente seguir o mesmo raciocínio, a gente chega em
Como o nome já diz, “acumulada”, é uma função que vai acumulando os valores das probabilidades de cada . Beleza?!
O gráfico de terá o aspecto de uma escada, em cada valor ela subirá uma altura referente a probabilidade desse , ou seja, .
Obs: O gráfico começará sempre no e terminará sempre em 1.
Abaixo temos a do nosso exemplo da moeda, onde é o número de caras que saem em dois lançamentos da moeda. O que nos leva a FDA abaixo:
Percebeu? Quando chega no a função dá um salto até o valor de que é exatamente o valor de . Depois permanece constante até encontrar o próximo valor possível da v.a. que é , quando dá outro salto, acumulando o valor de e passando então de 0,25 para 0,75. No final, ao acumular o valor de a FDA termina em , como já esperávamos.
Podemos falar só aqui entre nós que é o “salto” que a função dá no ponto . E podemos representar esse salto também pela expressão:
Ou seja, o valor de é igual ao valor da FDA em menos o valor dela logo antes de . No caso estamos medindo o “salto” que a função deu.
Exemplo:
Primeiro passo aqui é encontrar os valores de e , que são valores que estão no gráfico. Saca só!
Sendo , o valor assim que a variável é igual a , e é o valor imediatamente antes disso acontecer. Agora é só substituir...
Beleza?! Vamos praticar?
Exercício Resolvido #1
Três bolas enumeradas e estão num balde. Sorteamos duas bolas, e somamos os valores obtidos. Seja este valor.
- Obter a função de probabilidade de se as bolas forem sorteadas com e sem reposição.
- Em ambos os casos, desenhar a função de distribuição acumulada de .
Passo 1
Vamos começar com o caso com reposição!
é o valor da soma das duas bolas sorteadas, beleza? Temos primeiro que montar a função de probabilidade de .
Quais são os possíveis valores de ? Se é a soma de duas bolas retiradas com reposição e as bolas são e , então os possíveis valores são:
Note que , a ordem importa. Então a gente tem combinações de resultados pra retirada das duas bolas.
Desse jeito a gente tem que os possíveis valores de são: .
Nossa variável é uma v.a. discreta, concorda? Seus possíveis valores são números fixos, não tem como a soma das duas bolas resultar em !
Passo 2
Pra montar a função de probabilidade de uma v.a. discreta, a gente precisa montar aquela tabelinha, com os possíveis valores de e a probabilidade de cada um desses valores acontecer.
Os possíveis valores a gente já tem: .
Agora falta calcular a probabilidade de cada um, que é tranquilo.
Vamos começar por .
A soma das duas bolas só resulta em em uma das combinações de bolas, quando sai , daí:
Pensando dessa mesma forma a gente consegue todas as prob. que a gente quer.
Você pode até conferir se tá tudo certin, é só ver se a soma de todas as probabilidades dá .
Você pode deixar sua resposta final assim, ou se tiver com tempo sobrando, colocar arrumado numa tabela maneira.
Passo 3
Po, agora vai ser sem reposição, o que que muda? Muda que resultados como e não vão ser possíveis, certo?
Então os únicos resultados possíveis são:
E assim, os possíveis resultados pra nossa v.a. soma das duas bolas, vai ser:
Passo 4
Agora é o mesmo esquema pra calcular a probabilidade de cada resultado possível de .
É isso aí, dá pra você organizar numa tabela se preferir.
Passo 5
Função de distribuição acumulada é aquela que parece uma escada, que sempre que você chega num possível valor de você sobe (acumula) o valor da probabilidade desse valor de .
Pra primeira situação, com reposição, ficaria:
Ali quando , sobe para , depois em
E por aí em diante, acumulando os valores, até chegar em .
Passo 6
Para o caso sem reposição, o gráfico fica assim:
Subindo em cada valor de .
Resposta
Com reposição:
Sem reposição:
Com reposição:
Sem reposição:
Exercício Resolvido #2
Considere uma variável discreta com a seguinte função de probabilidade.
- Ache a constante que faz uma função de probabilidade.
- Encontre a função de distribuição ou função de distribuição acumulada? Plotar em gráfico esta função acumulada.
Passo 1
(a)
O que que uma função precisa pra ser considerada uma função de probabilidade? Isso você tem que saber, fundamental... a principal características dessas funções é que a integral ou o somatório delas tem que ser .
Nesse caso, como é uma função discreta (para valores fixos), não faz sentido integrar, então vamos fazer um somatório do valor dessa função, substituindo. E vamos igualar a , assim a gente descobre
Passo 2
Primeiro vamos substituir os valores de na função.
Somando agora todas essas parcelas, a gente tem que o somatório total é:
Passo 3
Agora é só igualar isso a pra descobrir o valor de .
Passo 4
(b)
Como essa função é discreta, a gente sabe que nosso gráfico da acumulada vai ser aquela escadinha, concorda? Começando do zero e indo até o .
A cada valor de possível ( vamos dar um pequeno salto que representa o valor da probabilidade desse valor . A gente já conhece a probabilidade de cada valor possível de , é só substituir na função de probabilidade que a gente acabou de achar.
Por exemplo...
Passo 5
A nossa função acumulada , vai ser assim..
Nota que no final deu como já era de se esperar.
Passo 6
Agora é só montar o gráfico, vai ficar mais ou menos assim....
Resposta
Exercício Resolvido #3
Sabe-se que a v.a. X assume os valores 1, 2 e 3 e que sua f.d.a. F(x) é tal que>
Obtenha a distribuição de X, a f.d.a. F(x) e o gráfico.
Passo 1
Sabemos que
é igual ao salto que a função dá no ponto
E que
Então pelo enunciado sabemos que:
Montando sua tabela de distribuição teremos:
Passo 2
Agora vamos montar a f.d.a de X?
Temos quatro intervalos correto? Eles são
Para calcularmos a f.d.a de cada intervalo desse precisamos:
1º) Lembrar dos dados o enunciado
2º) Lembrar que estamos falando da distribuição acumulada portanto sempre precisamos olhar o intervalo anterior.
Vamos lá?
- Bom, temos apenas três pontos no nosso enunciado e o primeiro é ponto 1 portanto antes dele podemos falar que F(X)=0.
- Lembra da primeira coisa que falamos na questão? Aquele “F(X)-F((X-)” é o salto que a função dá naquele ponto. Sabemos que o “salto” que a função dá no ponto portanto nesse intervalo saltamos do 0 para do
- Fazendo a mesm coisa que fizemos no item anterior podemos ver que nesse intervalo saltamos O erro aqui é pensar que por saltar isso estaremos nesse ponto. Lembre-se queremos a FUNÇÃO ACUMULADA. Nós estávamos no ponto e saltamos Assim chegaremos no ponto: .
- Agora já pegamos o jeito nisso né? Como salto foi de e estávamos no ponto , chegaremos no ponto:
Escrevendo mais bonitinho...
Passo 3
Montando um gráfico:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Uma urna contém três bolas numeradas de 1 a 3. Suponha que vamos fazer um sorteio sem reposição de duas bolas dessa urna. Considere uma variável aleatória discreta que represente a diferença em módulo dos valores entre as bolas. Monte a função de probabilidade dessa variável e o gráfico da FDA.
Passo 1
Sabemos que:
Fazemos um sorteio sem reposição, então podemos tirar as seguintes combinações de bolas:
Certo? E a diferença para cada um desses casos é:
Então nossa variável pode assumir os valores 1 e 2. E quais são as probabilidades de cada um desses valores ocorrem?
Então nossa função de probabilidade fica:
E o gráfico da FDA vai ficar:
Passo 2
Resposta
Exercício Resolvido #5
Suponha que lancemos três moedas, e que o resultado cara representa o número 2 e o resultado coroa representa o número 3. Agora suponha que temos uma variável aleatória discreta que represente a soma dos valores sorteados nas moedas. Descreva a expressão da FDA dessa variável e calcule a probabilidade dela ser maior que 7.
Passo 1
Vamos chamar de:
Vamos listar todas as combinações que podemos ter no lançamento das moedas:
Então esses daí são os valores que nossa variável pode assumir. Calculando a probabilidade de cada valor ocorres:
Passo 2
Agora vamos montar a expressão da FDA:
Por que isso? Por que fomos somando os valores com as probabilidades anteriores, ou seja, acumuladas até aquele ponto!
Passo 3
E agora queremos calcular a probabilidade:
Usando a probabilidade complementar, podemos dizer que:
E essa probabilidade aí com sinal de menor ou igual é justamente uma FDA, certo? Usando a expressão que calculamos, sabemos que:
Então: