Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

Teoria Completa

Função de Probabilidade

Fala Aí! Se liga nessa tabelinha abaixo. Montamos ela com a probabilidade de lançamento de duas moedas onde X é a quantidade de caras obtidas (Se quiser entender melhor como montar é só voltar no tópico de Introdução à viariável Discreta).

E se te perguntassem qual a probabilidade de se ter X = 1 ? Ou qual a probabilidade de X ser menor ou igual a 1? Como vamos trabalhar com os valores que temos para chegar a uma conclusão?

Nesse caso, a coluna à esquerda são os valores possíveis da v.a. e a coluna à direita são as probabilidades. Então a gente escreve assim:

f 0 = 0,25

f 1 = 0,5

f 2 = 0,25

Para resolver esse tipo de problema vamos estudar é a Função de Probabilidade, f ( x ) . O que essa função faz é associar a cada valor que a v.a. pode assumir à probabilidade dela assumir esse valor.

De uma maneira mais geral, a fórmula que define uma função de probabilidade é a seguinte:

f a = P X = a

Logo, sempre que a gente quiser a função de probabilidade de uma v.a. discreta podemos montar nossa tabelinha, identificando os possíveis valores que nossa v.a. pode assumir e as respectivas probabilidades.

Obs: Note que os valores de P ( x ) da tabela, somados, dão 1. Isso sempre tem que acontecer. Aí você pode dar uma conferida.

Função de Distribuição Acumulada

Outra função importante que vamos estudar é a FDA – Função de Distribuição Acumulada, F ( x ) .

Essa F ( x ) será dada por:

F a = P X ≤ a = ∑ x i ≤ a f ( x i )

Antes de pirar com essa fórmula, vamos ver no mesmo exemplo como fica:

F 0 = P X ≤ 0

Como X é discreta e só pode assumir os valores 0,1 ou 2, temos que

P X ≤ 0 = P X = 0 = 0,25

Assim, F 0 = 0,25 .

Vamos fazer a mesma coisa para os valores 1 e 2:

F 1 = P X ≤ 1 = P X = 0 + P X = 1

Agora esses últimos valores a gente olha na primeira tabela, ficando assim:

F 1 = 0,25 + 0,5 = 0,75 .

Assim, F 1 = 0,75 .

Se a gente seguir o mesmo raciocínio, a gente chega em

F 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 =   1 .

Como o nome já diz, “acumulada”, é uma função que vai acumulando os valores das probabilidades de cada x i . Beleza?!

O gráfico de F terá o aspecto de uma escada, em cada valor x i ela subirá uma altura referente a probabilidade desse x i , ou seja, p ( x i ) .

Obs: O gráfico começará sempre no 0 e terminará sempre em 1.

Abaixo temos a F ( x ) do nosso exemplo da moeda, onde X é o número de caras que saem em dois lançamentos da moeda. O que nos leva a FDA abaixo:

Percebeu? Quando chega no 0 a função dá um salto até o valor de 0,25 que é exatamente o valor de P ( X = 0 ) . Depois permanece constante até encontrar o próximo valor possível da v.a. que é 1 , quando F ( x ) dá outro salto, acumulando o valor de P ( X = 1 ) e passando então de 0,25 para 0,75. No final, ao acumular o valor de P ( X = 2 ) a FDA termina em 1 , como já esperávamos.

Podemos falar só aqui entre nós que P ( X = x i ) é o “salto” que a função F ( X ) dá no ponto x i . E podemos representar esse salto também pela expressão:

P X = x i = F x i - F x i -

Ou seja, o valor de P X = x i é igual ao valor da FDA em x i menos o valor dela logo antes de x i . No caso estamos medindo o “salto” que a função deu.

Exemplo:

P X = 1 = F 1 - F ( 1 - )

Primeiro passo aqui é encontrar os valores de F 1 e F ( 1 - ) , que são valores que estão no gráfico. Saca só!

Sendo F ( 1 ) , o valor assim que a variável X é igual a 1 , e F ( 1 - ) é o valor imediatamente antes disso acontecer. Agora é só substituir...

P X = 1 = F 1 - F 1 - = 0,75 - 0,25 = 0,5

Beleza?! Vamos praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P1-2014.2.-2(b)

Três bolas enumeradas 1 ,   2 e 3 estão num balde. Sorteamos duas bolas, e somamos os valores obtidos. Seja X este valor.

  1. Obter a função de probabilidade de X se as bolas forem sorteadas com e sem reposição.
  2. Em ambos os casos, desenhar a função de distribuição acumulada de X .
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Passo 1

( a ) Vamos começar com o caso com reposição!

X é o valor da soma das duas bolas sorteadas, beleza? Temos primeiro que montar a função de probabilidade de X .

Quais são os possíveis valores de X ? Se X é a soma de duas bolas retiradas com reposição e as bolas são 1 ,   2 e 3 , então os possíveis valores são:

B o l a   1 + B o l a   1 = 2

B o l a   1 + B o l a   2 = 3

B o l a   1 + B o l a   3 = 4

B o l a   2 + B o l a   1 = 3

B o l a   2 + B o l a   2 = 4

Note que B o l a   2 + B o l a   1 ≠ B o l a   1 + B o l a   2 , a ordem importa. Então a gente tem 9 combinações de resultados pra retirada das duas bolas.

1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3

Desse jeito a gente tem que os possíveis valores de X são: { 2,3 , 4,5 , 6 } .

Nossa variável X é uma v.a. discreta, concorda? Seus possíveis valores são números fixos, não tem como a soma das duas bolas resultar em 2,23 !

Passo 2

Pra montar a função de probabilidade de uma v.a. discreta, a gente precisa montar aquela tabelinha, com os possíveis valores de X e a probabilidade de cada um desses valores acontecer.

Os possíveis valores a gente já tem: 2,3 , 4,5 , 6 .

Agora falta calcular a probabilidade de cada um, que é tranquilo.

Vamos começar por P X = 2 .

A soma das duas bolas só resulta em 2 em uma das combinações de bolas, quando sai 1,1 , daí:

P X = 2 = 1 9

Pensando dessa mesma forma a gente consegue todas as prob. que a gente quer.

P X = 3 = 2 9

P X = 4 = 3 9

P X = 5 = 2 9

P X = 6 = 1 9

Você pode até conferir se tá tudo certin, é só ver se a soma de todas as probabilidades dá 1 .

Você pode deixar sua resposta final assim, ou se tiver com tempo sobrando, colocar arrumado numa tabela maneira.

Passo 3

Po, agora vai ser sem reposição, o que que muda? Muda que resultados como 1,1 ,   2,2 e 3,3 não vão ser possíveis, certo?

Então os únicos resultados possíveis são:

1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,3 , 3,1 , 3,2

E assim, os possíveis resultados pra nossa v.a. X → soma das duas bolas, vai ser:

X → 3,4 , 5

Passo 4

Agora é o mesmo esquema pra calcular a probabilidade de cada resultado possível de X .

P X = 3 = 2 6

P X = 4 = 2 6

P X = 5 = 2 6

É isso aí, dá pra você organizar numa tabela se preferir.

Passo 5

( b ) Função de distribuição acumulada é aquela que parece uma escada, que sempre que você chega num possível valor de X você sobe (acumula) o valor da probabilidade desse valor de X .

Pra primeira situação, com reposição, ficaria:

Ali quando X = 2 , sobe para 1 / 9 , depois em X = 3 → 1 9 + 2 9 = 1 3

E por aí em diante, acumulando os valores, até chegar em 1 .

Passo 6

Para o caso sem reposição, o gráfico fica assim:

Subindo 1 3 em cada valor de X → 3,4 , 5 .

Resposta

a Com reposição:

Sem reposição:

b Com reposição:

Sem reposição:

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-2014.2-4 (b)

Considere uma variável discreta com a seguinte função de probabilidade.

f x = Pr ⁡ X = x = 5 ! x ! 5 - x ! 1 k 5         p a r a   x = 0,1 , 2,3 , 4,5

  1. Ache a constante “ k ” que faz f x uma função de probabilidade.
  2. Encontre a função de distribuição ou função de distribuição acumulada? Plotar em gráfico esta função acumulada.
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Passo 1

(a)

O que que uma função precisa pra ser considerada uma função de probabilidade? Isso você tem que saber, fundamental... a principal características dessas funções é que a integral ou o somatório delas tem que ser 1 .

Nesse caso, como é uma função discreta (para valores fixos), não faz sentido integrar, então vamos fazer um somatório do valor dessa função, substituindo   x = 0,1 , 2,3 , 4,5 . E vamos igualar a 1 , assim a gente descobre k .

Passo 2

Primeiro vamos substituir os valores de x na função.

P X = 0 = 5 ! 0 ! 5 - 0 ! 1 k 5

= 5 ! 5 ! 1 k 5 = 1 k 5

P X = 1 = 5 ! 1 ! 5 - 1 ! 1 k 5

= 5 ! 4 ! 1 k 5 = 5 k 5

P X = 2 = 5 ! 2 ! 5 - 2 ! 1 k 5

= 5 ! 12 1 k 5 = 10 k 5

P X = 3 = 5 ! 3 ! 5 - 3 ! 1 k 5

= 5 ! 3 ! × 2 ! 1 k 5 = 10 k 5

P X = 4 = 5 ! 4 ! 5 - 4 ! 1 k 5

= 5 ! 4 ! 1 k 5 = 5 k 5

P X = 5 = 5 ! 5 ! 5 - 5 ! 1 k 5

= 5 ! 5 ! 1 k 5 = 1 k 5

Somando agora todas essas parcelas, a gente tem que o somatório total é:

= 32 k 5

Passo 3

Agora é só igualar isso a 1 pra descobrir o valor de k .

32 k 5 = 1

k 5 = 32

k = 32 5

k = 2

f x = 5 ! x ! 5 - x ! 1 2 5

Passo 4

(b)

Como essa função é discreta, a gente sabe que nosso gráfico da acumulada vai ser aquela escadinha, concorda? Começando do zero e indo até o 1 .

A cada valor de X possível ( 0,1 , 2,3 , 4,5 ) vamos dar um pequeno salto que representa o valor da probabilidade desse valor x i . A gente já conhece a probabilidade de cada valor possível de X , é só substituir na função de probabilidade que a gente acabou de achar.

Por exemplo...

P X = 0 = 5 ! 0 ! 5 - 0 ! 1 2 5 = 0,03125

P X = 1 = 5 ! 1 ! 5 - 1 ! 1 2 5 = 0,15625

P X = 2 = 5 ! 2 ! 5 - 2 ! 1 2 5 = 0,3125

P X = 3 = 5 ! 3 ! 5 - 3 ! 1 2 5 = 0,3125

P X = 4 = 5 ! 4 ! 5 - 4 ! 1 2 5 = 0,15625

P X = 5 = 5 ! 5 ! 5 - 5 ! 1 2 5 = 0,03125

Passo 5

A nossa função acumulada F ( x ) , vai ser assim..

F 0 = f 0 = 0,03125

F 1 = F ( 0 ) + f 1 = 0,03125 + 0,15625

F 1 = 0,1875

F 2 = F 1 + f 2 = 0,1875 + 0,3125

F 2 = 0,5

F 3 = F 2 + f 3 = 0,5 + 0,3125

F 3 = 0,8125

F 4 = F 3 + f 4 = 0,8125 + 0,15625

F 4 = 0,96875

F 5 = F 4 + f 5 = 0,96875 + 0,03125

F 5 = 1

Nota que no final deu 1 como já era de se esperar.

Passo 6

Agora é só montar o gráfico, vai ficar mais ou menos assim....

Resposta

a   k = 2

Exercício Resolvido #3

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,140-18

Sabe-se que a v.a. X assume os valores 1, 2 e 3 e que sua f.d.a. F(x) é tal que>

F 1 - F 1 - = 1 3

F 2 - F 2 - = 1 6

F 3 - F 3 - = 1 2

Obtenha a distribuição de X, a f.d.a. F(x) e o gráfico.

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Passo 1

Sabemos que

P ( X = x i ) é igual ao salto que a função F ( x ) dá no ponto x i

E que P X = x i = F x i - F x i - .

Então pelo enunciado sabemos que:

P X = 1 = 1 3 P X = 2 = 1 6

P X = 3 = 1 2

Montando sua tabela de distribuição teremos:

Passo 2

Agora vamos montar a f.d.a de X?

Temos quatro intervalos correto? Eles são

x < 1

1 ≤ x < 2

2 ≤ x < 3

x > 3

Para calcularmos a f.d.a de cada intervalo desse precisamos:

1º) Lembrar dos dados o enunciado

2º) Lembrar que estamos falando da distribuição acumulada portanto sempre precisamos olhar o intervalo anterior.

Vamos lá?

  • x < 1 → Bom, temos apenas três pontos no nosso enunciado e o primeiro é ponto 1 portanto antes dele podemos falar que F(X)=0.
  • 1 ≤ x ≤ 2 → Lembra da primeira coisa que falamos na questão? Aquele “F(X)-F((X-)” é o salto que a função dá naquele ponto. Sabemos que o “salto” que a função dá no ponto portanto nesse intervalo saltamos do 0 para do 1 3 .
  • 2 ≤ x ≤ 3 → Fazendo a mesm coisa que fizemos no item anterior podemos ver que nesse intervalo saltamos 1 6 . O erro aqui é pensar que por saltar isso estaremos nesse ponto. Lembre-se queremos a FUNÇÃO ACUMULADA. Nós estávamos no ponto 1 3 e saltamos 1 6 .   Assim chegaremos no ponto: 1 3 + 1 6 = 1 2 .
  • x > 3 → Agora já pegamos o jeito nisso né? Como salto foi de 1 2 e estávamos no ponto 1 2 , chegaremos no ponto: 1 2 + 1 2 = 1 .

Escrevendo mais bonitinho...

F X = 0 ,       x < 1 1 3 ,       1 ≤ x < 2 1 2 ,       2 ≤ x < 3 1 ,       x ≥ 3

Passo 3

Montando um gráfico:

Resposta

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Uma urna contém três bolas numeradas de 1 a 3. Suponha que vamos fazer um sorteio sem reposição de duas bolas dessa urna. Considere uma variável aleatória discreta que represente a diferença em módulo dos valores entre as bolas. Monte a função de probabilidade dessa variável e o gráfico da FDA.

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Passo 1

Sabemos que:

X : d i f e r e n ç a   e n t r e   v a l o r e s   d a s   b o l a s

Fazemos um sorteio sem reposição, então podemos tirar as seguintes combinações de bolas:

1   e   2

1   e   3

2   e   1

2   e   3

3   e   1

3   e   2

Certo? E a diferença para cada um desses casos é:

1 - 2 = 1

1 - 3 = 2

2 - 1 = 1

2 - 3 = 1

3 - 1 = 2

3 - 2 = 1

Então nossa variável X pode assumir os valores 1 e 2. E quais são as probabilidades de cada um desses valores ocorrem?

P X = 1 = 4 6 = 0,667

P X = 2 = 2 6 = 0,333

Então nossa função de probabilidade fica:

E o gráfico da FDA vai ficar:

Passo 2

Resposta

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Suponha que lancemos três moedas, e que o resultado cara representa o número 2 e o resultado coroa representa o número 3. Agora suponha que temos uma variável aleatória discreta que represente a soma dos valores sorteados nas moedas. Descreva a expressão da FDA dessa variável e calcule a probabilidade dela ser maior que 7.

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Passo 1

Vamos chamar de:

K = c a r a

C = c o r o a

X : s o m a   d o s   v a l o r e s

Vamos listar todas as combinações que podemos ter no lançamento das moedas:

K K K = 2 + 2 + 2 = 6

K K C = 2 + 2 + 3 = 7

K C C = 2 + 3 + 3 = 8

C C C = 3 + 3 + 3 = 9

C C K = 3 + 3 + 2 = 8

C K K = 3 + 2 + 2 = 7

K C K = 2 + 3 + 2 = 7

C K C = 3 + 2 + 3 = 8

Então esses daí são os valores que nossa variável X pode assumir. Calculando a probabilidade de cada valor ocorres:

P X = 6 = 1   l a n ç a m e n t o 8   l a n ç a m e n t o s   t o t a i s = 1 8

P X = 7 = 3 8

P X = 8 = 3 8

P X = 9 = 1 8

Passo 2

Agora vamos montar a expressão da FDA:

F ( x ) 0 ,     x < 6 1 8 ,     6 ≤ x < 7 4 8 ,     7 ≤ x < 8 7 8 ,     8 ≤ x < 9 1 ,     x ≥ 9

Por que isso? Por que fomos somando os valores com as probabilidades anteriores, ou seja, acumuladas até aquele ponto!

Passo 3

E agora queremos calcular a probabilidade:

P X > 7

Usando a probabilidade complementar, podemos dizer que:

P X > 7 = 1 - P ( X ≤ 7 )

E essa probabilidade aí com sinal de menor ou igual é justamente uma FDA, certo? Usando a expressão que calculamos, sabemos que:

P X ≤ 7 = F 7 = 4 8

Então:

P X > 7 = 1 - 4 8 = 4 8 = 0,50

Resposta

F ( x ) 0 ,     x < 6 1 8 ,     6 ≤ x < 7 4 8 ,     7 ≤ x < 8 7 8 ,     8 ≤ x < 9 1 ,     x ≥ 9