Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Discreta

Teoria Completa

Agora que a gente já sabe identificar as funções, vamos pegar um exemplo um pouco mais elaborado pra seguir adiante.

Considere uma universidade com 10.000 estudantes de engenharia e considere uma v.a. X : número de aprovações que um aluno selecionado teve no período passado. A função de probabilidade de X está representada na tabela abaixo.

Qual seria o valor médio de aprovações por aluno, ou seja, qual seria o valor médio de X ?

Poderíamos calcular isso multiplicando o número de aprovações pelo respectivo número de alunos e dividir pelo total de alunos, certo? Aquela média do ensino médio.

2 × 800 + 3 × 2000 + 4 × 4000 + 5 × 2800 + 6 × 400 10000 = 4

Beleza! Mas também poderíamos fazer apenas multiplicando o número de aprovações pela sua respectiva probabilidade, ou seja, x . p ( x ) .

2 × 0,08 + 3 × 0,2 + 4 × 0,4 + 5 × 0,28 + 6 × 0,04 = 4

Com isso, concluímos que:

O valor médio ou valor esperado de X , que chamaremos de E X → e s p e r a n ç a   d e   X , pode ser calculado da seguinte forma:

E X =   ∑ i = 1 n x i . p ( x i )

E X é considerado uma medida de centralidade.

Porém, nem sempre saber a esperança é o suficiente pra gente ter uma ideia clara da distribuição de X .

O que eu quero dizer é que a esperança ser 4 pode significar que a maioria dos alunos foi aprovado em mais ou menos 4 matérias, ou então que muitos foram aprovados em 6 e muitos foram aprovados em 2, o que nos daria a mesma média.

Exatamente pra isso existem as medidas de dispersão. As principais que iremos estudar são a variância e o desvio padrão.

  • Variância V a r ( X ) ou σ 2 :
  • V a r X = ∑ i = 1 n x i - E X 2 × p i = ∑ i = 1 n x i 2 ⋅ p x i - E X 2 = E X 2 - E X 2

  • Desvio padrão D P ( X ) ou σ :

D P X = V a r ( X )

Existe também um outro jeito de medir essa variação, que é através do coeficiente de variação ou C V ( X ) .

C V X = D P X E X

É, são fórmulas e mais fórmulas, mas com o tempo se pega o jeito!

Logo, no nosso exemplo:

V a r X = ( 2 - 4 ) 2 × 0,08 + ( 3 - 4 ) 2 × 0,2 + ( 4 - 4 ) 2 × 0,4 + ( 5 - 4 ) 2 × 0,28 + ( 6 - 4 ) 2 × 0,04 = 0,96

Ou ainda:

E X 2 = 2 2 × 0,08 + 3 2 × 0,2 + 4 2 × 0,4 + 5 2 × 0,28 + 6 2 × 0,04 = 16,96

V a r X = E X 2 - E X 2 = 16,96 - 4 2 = 0,96

D P X = 0,96

C V X = 0,96 4

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Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 139-10

Considere o lançamento de três moedas. Se ocorre o evento CCC, dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento CRC temos três sequencias. Defina a v.a. X = número de caras obtidas e Y = número de sequências, isso para cada resultado possível. Assim, X C R R = 1 e Y C R R = 2 . Obtenha as distribuições de X e Y. Calcule E(X), E(Y), Var (X) e Var (Y).

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Passo 1

Vamos lá então!

Primeira coisa que temos que fazer é: Escrever a distribuição de probabilidade tanto da v.a. X quanto da v.a. Y certo?

Pra isso temos que listar os eventos:

R R R ,   R R C ,   R C R ,   C R R ,   R C C ,   C R C ,   C C R ,   C C C

Esse aí é o nosso espaço amostral Ω .

Passo 2

Agora vamos entender quem é a v.a. X: número de caras obtidas e analisar os eventos:

1º evento: RRR → X = 0

P X = 0 = P R R R = 1 2 3 = 1 8

2º Evento: RRC → X = 1

P R R C = 1 2 3

Note que o 2º evento = 3º evento = 4º evento Temos duas coroas e apenas uma cara? Ou seja, eles são as permutações possíveis certo? Então podemos falar que:

P X = 1 = 3 ! 2 ! . 1 2 3 = 3 8

5º evento: RCC → X = 2

P R C C = 1 2 3 = 1 8

Note que teremos um caso parecido com o evento 2. Note que o:

5º evento = 6º evento = 7º evento

Ou seja, temos nesses três casos uma coroa e duas caras. Esses casos são a permutações possíveis, então podemos falar que:

P X = 2 = 3 ! 2 ! 1 2 3 = 3 8

8º evento: CCC → X = 3

P X = 3 = P C C C = 1 2 3

Assim, podemos montar a tabela de distribuição de X:

Passo 3

A partir disso podemos calcular E(x) e Var(x)

E x = ∑ i = 1 n x i . p ( x i )

E x = 0 ×   1 8 + 1 × 3 8 + 2 × 3 8 + 3 × 1 8 = 1,5

V a r x = ∑ i = 1 n [ x i - E X ] 2 × p i    

V a r x = - 1,5 2 × 1 8 + - 0,5 2 × 3 8 + 0,5 2 × 3 8 + 1,5 2 × 1 8 = 0,75

Passo 4

Agora vamos fazer o mesmo passo a passo para a v.a. Y: número de sequências

1º evento: RRR → Y = 1

P R R R = 1 2 3 = 1 8

2º Evento: RRC → Y = 2

P R R C = 1 2 3

3º Evento: RCR → Y = 3

P R C R = 1 2 3 = 1 8

4º Evento: CRR → Y = 2

P C R R = 1 2 3 = 1 8

5º evento: RCC → Y = 2

P R C C = 1 2 3 = 1 8

6º Evento: CRC → Y = 3

P C R C = 1 2 3 = 1 8  

7º Evento: CCR → Y = 2

P C C R = 1 2 3 = 1 8  

8º evento: CCC → Y = 1

P C C C = 1 2 3 = 1 8

Montando a tabela de distribuição de Y:

Passo 5

A partir disso podemos calcular E(y) e Var(y)

E Y = ∑ i = 1 n y i . p ( y i )

E Y = 1 ×   2 8 + 2 × 4 8 + 3 × 2 8 = 2

V a r Y = ∑ i = 1 n [ y i - E Y ] 2 × p i    

V a r Y = - 1 2 × 2 8 + 0 × 4 8 + 1 2 × 2 8 = 0,5

Resposta

E X = 1,5   ; V a r X = 0,75

E Y = 2 ; V a r Y = 0,5

Exercício Resolvido #2

UERJ-lista 1 prof Fabiano-18(a)

Uma transportadora de cargas possui quatro caminhões de aluguel. O aluguel é realizado por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados por dia ( x ) é dada por:

Sabendo que o aluguel por dia é da ordem de U S $   300 e que a despesa total diária com a manutenção de cada veículo é igual a U S $   140 quando este é alugado e de U S $   15 , quando tal fato não ocorre, encontre:

  1. O número médio diário de caminhões alugados e o desvio padrão.
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Passo 1

(a)

Se a gente chamar de X a v.a. que representa o número de caminhões alugados por dia. A gente já tem a tabela com os valores possíveis para X (0,1,2,3,4) e suas respectivas probabilidades.

Pra calcular o número médio de caminhões alugados é só calcular:

E X =   ∑ i = 1 n x i . p ( x i )

E X = 0 × 0,1 + 1 × 0,2 + 2 × 0,3 + 3 × 0,3 + 4 × 0,1