Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Discreta

Teoria Completa

Introdução

Quando temos um estudo estatístico, é muito importante ter ferramentas para poder interpretar os dados obtidos.

Por exemplo, considere uma universidade com 10.000 estudantes de engenharia e considere uma v.a. X : número de aprovações que um aluno selecionado teve no período passado. A função de probabilidade de X está representada na tabela abaixo.

Onde X   são os eventos e P ( X ) é a probabilidade de cada evento acontecer.

Como podemos “resumir” os dados dessa tabela? Podemos utiizar o valor médio, concorda?!

Beleza, mas se eu te perguntasse qual é o valor médio de aprovações por aluno, ou seja, qual é o valor médio de X , você surtaria??? Calma que eu to aqui pra te ajudar!!!!!

Imagina como seria se todos precisassem estudar estatística a fundo para interpretar uma tabela de dados??

Melhor não, né?

É por isso que existem as medidas de Centralidade e Dispersão! São ferramentas que vão ajudar a gente a entender o que de fato aqueles dados significam, indicam etc…

Preparados?!

Esperança

Vamos tentar entender a ideia com o exemplo do início:

Poderíamos calcular a média multiplicando o número de aprovações pelo respectivo número de alunos e dividir pelo total de alunos, certo? Aquela média do ensino médio.

2 × 800 + 3 × 2000 + 4 × 4000 + 5 × 2800 + 6 × 400 10000 = 4

Beleza, temos uma média dos valores certo? Porém, e se perguntassem qual o valor esperado de aprovações?

Valor esperado remete a probabilidade de tal coisa acontecer certo? E daí que vem a medida Esperança E X .

E X é considerado uma medida de centralidade. Basicamente nos diz o seguinte: Se tivéssemos cada vez mais alunos qual seria a média esperada de aprovação? A resposta seria A esperança de X .

No nosso exemplo a Esperança de X é calculada multiplicando o número de aprovações ( x i ) pela sua respectiva probabilidade( p ( x i ) ), ou seja:

2 × 0,08 + 3 × 0,2 + 4 × 0,4 + 5 × 0,28 + 6 × 0,04 = 4

Isso pode significar que a maioria dos alunos foi aprovado em mais ou menos 4 matérias, ou então que muitos foram aprovados em 6 e muitos foram aprovados em 2, o que nos daria a mesma média.

Com essa ideia temos a esperança de X que é calculada como:

E X =   ∑ i = 1 n x i . p ( x i )

Beleza?!

Nesse caso temos que a Esperança deu um valor igual a Média, porém isso nem sempre é verdade!

Vamos ver mais um exemplo pra entender melhor?!

Exemplo

Consideremos o lançamento de um dado equilibrado. Seja X a variável aleatória tal que:

X = O   n ú m e r o   d a   f a c e   v i r a d a   p a r a   c i m a

Vamos calcular a esperança de X ?

Sabemos que os valores possíveis de X são [ 1,2 , 3,4 , 5,6 ] e cada um tem 1 6   de probabilidade de acontecer. Desse modo:

E ( X ) = 1 * 1 6 + 2 * 1 6 + 3 * 1 6 + 4 * 1 6 + 5 * 1 6 + 6 * 1 6   =   7 2

Observe o valor que encontramos, 7 2 não é um valor possível para X   (não tem como um dado dar 7 2 ). A esperança significa que se jogássemos o dado várias e várias vezes e depois calculassemos a média aritmética ESPERARÍAMOS que a média ficasse próxima a 7 2 . Deu pra pegar a ideia? rs

Com isso vimos que nem sempre saber a esperança é o suficiente pra gente ter uma ideia clara da distribuição de X . Ainda bem que existem outras ferramentas!

Variância e Desvio Padrão

Vamos começar pela variância!

Lembra que no exemplo anterior, quando calculamos a esperança chegamos a duas conclusões? Que ou a maioria dos alunos foi aprovado em mais ou menos 4 matérias, ou então que muitos foram aprovados em 6 e muitos foram aprovados em 2.

A variância pode nos dizer qual das duas opções é a certa!!

Calcular a variância é a mesma coisa que calcular o quão longe em geral os seus dados estão do valor esperado. Ou seja, ela mostra onde está concentrado a maioria dos seus dados, mais perto da média ou não.

A variância se calcula desse jeito:

  • Variância V a r ( X ) ou σ 2 :
  • V a r X = ∑ i = 1 n x i - E X 2 × p i

    Assim,

    V a r X = ( 2 - 4 ) 2 × 0,08 + ( 3 - 4 ) 2 × 0,2 + ( 4 - 4 ) 2 × 0,4 + ( 5 - 4 ) 2 × 0,28 + ( 6 - 4 ) 2 × 0,04 = 0,96

    Ah, Se preferir podemos manipular essa fórmula:

    V a r X = ∑ i = 1 n x i - E X 2 × p i

    V a r X = ∑ i = 1 n x i 2 ⋅ p x i - E X 2

    V a r X = E X 2 - E X 2

    Utilizando essa manipulação na fórmula, teremos

    E X 2 = 2 2 × 0,08 + 3 2 × 0,2 + 4 2 × 0,4 + 5 2 × 0,28 + 6 2 × 0,04 = 16,96

    Assim,

    V a r X = E X 2 - E X 2 = 16,96 - 4 2 = 0,96

    Qualquer uma dessas fórmulas chegará no valor da variância...

    Isso significa que a maioria dos nossos dados não estão tão afastados assim da Esperança, então podemos supor que a maioria dos alunos foi aprovado em mais ou menos 4 matérias.

    Mas e o tal desvio padrão?

    Ele também é uma medida de dispersão. O desvio padrão também informa se os dados estarão perto ou não do valor esperado, porém de uma maneira mais geral. Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados no gráfico.

    Se calcula da seguinte forma:

  • Desvio padrão D P ( X ) ou σ :

D P X = V a r ( X )

D P X = 0,96

Existe também um outro jeito de medir essa variação, que é através do coeficiente de variação ou C V ( X ) que indica a variabilidade em relação à média da população.

C V X = D P X E X

C V X = 0,96 4

Se você reparar, o desvio padrão e coeficiente de variação deram números muito pequenos, então isso reforça a ideia de que a maioria dos alunos foi aprovado em mais ou menos 4 matérias.

É, são fórmulas e mais fórmulas, mas com o tempo se pega o jeito! Abaixo temos uma tabelinha para nos ajudar!!

Legal, né?! Com essas medidas fica fácil analisar e interpretar gráficos!

Vamos fazer mais exercícios?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 139-10

Considere o lançamento de três moedas. Se ocorre o evento CCC, dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento CRC temos três sequencias. Defina a v.a. X = número de caras obtidas e Y = número de sequências, isso para cada resultado possível. Assim, X C R R = 1 e Y C R R = 2 . Obtenha as distribuições de X e Y. Calcule E(X), E(Y), Var (X) e Var (Y).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá então!

Primeira coisa que temos que fazer é: Escrever a distribuição de probabilidade tanto da v.a. X quanto da v.a. Y certo?

Pra isso temos que listar os eventos:

R R R ,   R R C ,   R C R ,   C R R ,   R C C ,   C R C ,   C C R ,   C C C

Esse aí é o nosso espaço amostral Ω .

Passo 2

Agora vamos entender quem é a v.a. X: número de caras obtidas e analisar os eventos:

1º evento: RRR → X = 0

P X = 0 = P R R R = 1 2 3 = 1 8

2º Evento: RRC → X = 1

P R R C = 1 2 3

Note que o 2º evento = 3º evento = 4º evento Temos duas coroas e apenas uma cara? Ou seja, eles são as permutações possíveis certo? Então podemos falar que:

P X = 1 = 3 ! 2 ! . 1 2 3 = 3 8

5º evento: RCC → X = 2

P R C C = 1 2 3 = 1 8

Note que teremos um caso parecido com o evento 2. Note que o:

5º evento = 6º evento = 7º evento

Ou seja, temos nesses três casos uma coroa e duas caras. Esses casos são a permutações possíveis, então podemos falar que:

P X = 2 = 3 ! 2 ! 1 2 3 = 3 8

8º evento: CCC → X = 3

P X = 3 = P C C C = 1 2 3

Assim, podemos montar a tabela de distribuição de X:

Passo 3

A partir disso podemos calcular E(x) e Var(x)

E x = ∑ i = 1 n x i . p ( x i )

E x = 0 ×   1 8 + 1 × 3 8 + 2 × 3 8 + 3 × 1 8 = 1,5

V a r x = ∑ i = 1 n [ x i - E X ] 2 × p i    

V a r x = - 1,5 2 × 1 8 + - 0,5 2 × 3 8 + 0,5 2 × 3 8 + 1,5 2 × 1 8 = 0,75

Passo 4

Agora vamos fazer o mesmo passo a passo para a v.a. Y: número de sequências

1º evento: RRR → Y = 1

P R R R = 1 2 3 = 1 8

2º Evento: RRC → Y = 2

P R R C = 1 2 3

3º Evento: RCR → Y = 3

P R C R = 1 2 3 = 1 8

4º Evento: CRR → Y = 2

P C R R = 1 2 3 = 1 8