Introdução à Variável Aleatória Discreta

Teoria Completa

Introdução

Me acompanha num exemplo tranquilo aqui!

Vamos considerar o lançamento de duas moedas em sequência de forma independente, qual seria a probabilidade de sair pelo menos uma vez “cara”?

Passo 1) Primeiro vamos construir nosso espaço amostral.

Ω → {   C C ,   C K ,   K C ,   K K   }

Onde:

C :   "cara"   ,    K : "coroa"

Beleza? Pode sair cara nas duas moedas, cara na primeira e coroa na segunda, coroa na primeira e cara na segunda ou coroa nas duas.

Passo 2) Vamos chamar de X : " n ú m e r o   d e   c a r a s   q u e   s a e m   n o s   d o i s   l a n ç a m e n t o s " .

Concorda que X poderá assumir os valores de : 0 ,   1   e   2 ?

0 → " K K "

1 → "CK", "KC"

2 → " C C "

E que a probabilidade de X assumir cada valor desse é:

P X = 0 = P KK = 1 4 = 0,25

P X = 1 = P C K , K C = 2 4 = 0,5

P X = 2 = P C C = 1 4 = 0,25

Passo 3) Montamos uma tabelinha com a quantidade de caras que pode sair nos lançamentos e a probabilidade de cada possibilidade.

Passo 4) Calculamos a probabilidade de sair pelo menos uma vez cara. Ou seja, a probabilidade de X assumir valores maiores ou iguais a um.

P X ≥ 1 = P X = 1 + P X = 2 = 0,5 + 0,25 = 0,75

Ou seja a probabilidade pedida é de 75 % .

Observe que a gente também podia resolver pensando que:

P X ≥ 1 = 1 - P ( X = 0 )

Concorda ? A probabilidade de sair cara pelo menos uma vez é igual a 1 menos a probabilidade de não sair nenhuma vez. Também daria 75 % .

Obs: Esse exemplo foi bem tranquilo e na verdade poderia ser resolvido de forma mais direta, mas preferi resolver assim pra você poder pegar melhor os próximos conceitos. Aguarde os exercícios haha

Bom, nesse exemplo, a variável que chamamos de X , poderia assumir valores aleatórios com uma probabilidade conhecida de assumir cada valor, correto ?

Isso que são variáveis aleatórias! – ou “v.a.”

Agora eu te pergunto, por que v.a. discreta ?

Chamamos casos como esse de v.a. discretas, porque essas variáveis só assumem valores finitos ou infinitos enumeráveis. OI? Haha, falei grego!

Quis dizer que no nosso caso, o resultado da moeda não pode ser metade cara, metade coroa. Ou é cara ou é coroa. Outros exemplos de v.a. discretas são:

  • Lançamento de um dado (não rola tirar 4,53 no dado)
  • Acidentes ocorridos numa semana (ninguém nunca ouviu no jornal: “hoje aconteceu 2,5 acidentes nas estradas”)
  • Número de aprovações no semestre (haha, não dá pra passar na metade da matéria)

Pegou a ideia ? Beleza, vem comigo então!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 1

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem reposição, e defina v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá! Temos ao todo 8 bolas, sendo:

3 vermelhas e 5 pretas

Tirando três bolas sem reposição, podemos ter (lembrando que a v.a. X   conta o número de bolas pretas retiradas):

3   b o l a s   p r e t a s → X = 3

2   b o l a s   p r e t a s → X = 2

1   b o l a   p r e t a → X = 1

n e n h u m a   b o l a   p r e t a → X = 0

Certo?

Vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos:

Passo 2

1º caso: X = 3

O único jeito de termos três bolas pretas é:

P P P

Pra calcular essa probabilidade, vamos fazer da seguinte forma:

Pra primeira bola retirada, temos 5 pretas de um total de 8 bolas, então a probabilidade de a primeira ser preta será de 5 8

Agora, já tendo retirado a primeira bola e ela sendo preta, temos 4 bolas pretas de um total de 7 bolas, então a probabilidade de a segunda bola ser preta agora é de 4 7

Usando o mesmo raciocínio, pra terceira bola temos que a probabilidade será de 3 6

Agora é só multiplicar tudo (queremos a probabilidade da primeira ser preta e a segunda ser preta e a terceira ser preta):

P X = 3 = 5 8 ⋅ 4 7 ⋅ 3 6 = 0,178

Passo 3

2º caso: X = 2

Agora vai mudar um pouquinho a conta. É o seguinte: pra gente ter duas bolas pretas, concorda que os resultados possíveis são

P P V ,   P V P ,   V P P

Calculando a probabilidade de cada um deles que nem no passo anterior, temos o seguinte:

P P P V =   5 8 ⋅ 4 7 ⋅ 3 6 = 0,178

P P V P =   5 8 ⋅ 3 7 ⋅ 4 6 = 0,178

P V P P =   3 8 ⋅ 5 7 ⋅ 4 6 = 0,178

Agora é só somar os três (podemos ter duas bolas pretas ou do primeiro jeito ou do segundo ou do terceiro):

P X = 2 = 3 × 0,178 = 0,534

Passo 4

3º caso: X = 1

As possibilidades para termos 1 bola preta são:

P V V ,   V V P ,   V P V

Fazendo o mesmo raciocínio do passo anterior, temos:

P X = 1 = 0,269

Passo 5

4º caso: X = 0

Agora a única possibilidade é

V V V

Calculando da mesma forma que no passo 2:

P X = 0 = 3 8 . 2 7 . 1 6 = 0,0178

Passo 6

Então a distribuição de X será:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 135-02

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que o enunciado quer? A distribuição de X, que ele definiu como uma variável aleatória igual ao número de bolas pretas da nossa extração. Podemos ter:

3   b o l a s   p r e t a s → X = 3

2   b o l a s   p r e t a s → X = 2

1   b o l a   p r e t a → X = 1

n e n h u m a   b o l a   p r e t a → X = 0

Vamos olhar cada caso melhor?

Passo 2

1º caso: Nenhuma bola preta → X = 0

Nesse caso, teríamos:

V V V

Temos três bolas vermelhas de um total de 8 bolas. A probabilidade da primeira bola ser vermelha então é de 3 8 .

Como estamos repondo as bolas retiradas, a probabilidade de a segunda ser vermelha também é de 3 8 .

Mesma coisa para a terceira bola!

Então a probabilidade de as três bolas serem vermelhas é dada pela multiplicação:

P X = 0 = 3 8 . 3 8 . 3 8 = 3 8 3

Passo 3

2º caso   Apenas uma bola preta → X = 1

As possibilidades para termos 1 bola preta são:

P V V ,   V V P ,   V P V

Vamos calcular a probabilidade de cada caso usando o mesmo raciocínio do passo 2 (tomando cuidado porque temos 5 bolas pretas de um total de 8, então a probabilidade de tirar uma preta é 5 8 ):

P P V V =   5 8 . 3 8 . 3 8

P V V P =   3 8 . 3 8 . 5 8

P V P V =   3 8 . 5 8 . 3 8

Somando as três probabilidades, temos:

P X = 1 = 3 × 3 8 2 × 5 8

Passo 4

3º caso: Duas bolas pretas → X = 2

Esse caso é super parecido com o 2º. As possibilidades são:

P P V ,   P V P ,   V P P

Calculando do mesmo jeito, temos:

P X = 2 = 3 × 3 8 × 5 8 2

Passo 5

4º caso: Três bolas pretas → X = 3

Esse caso é parecido com o 1º só que agora com as bolas pretas.

P X = 3 = 5 8 . 5 8 . 5 8 = 5 8 3

Passo 6

Montando a tabela de distribuição de X:

Resposta

Exercício Resolvido #3

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 135-03

Suponha que uma moeda perfeita é lançada até que cara apareça pela primeira vez. Seja X o número de lançamentos até que isso aconteça. Obtenha a distribuição de X. (Observe que, nesse problema, pelo menos teoricamente, X pode assumir um número infinito de valores.)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lançar moedas até dar cara, ou seja, enquanto der coroa continuamos a jogar.

Podemos ter as seguintes possibilidades:

Note que não temos um limite para X, então calcularemos até certo ponto apenas.

Passo 2

1º caso: (K) →   Conseguimos K na primeira tentativa. → X = 1

P X = 1 = P K = 1 2

2º caso: (CK) Conseguimos K na segunda tentativa → X = 2

P X = 2 = P C K = P C . P K = 1 2 . 1 2 = 1 2 2

Perceba que aqui nós multiplicamos as probabilidades de quando dá C e quando dá K. Fazemos isso pois são eventos sucessivos, ocorrem um atrás do outro

3º caso: (CCK) →   Conseguimos K na terceira tentativa → X = 3

P X = 3 = P C C K = P C . P C . P K = 1 2 . 1 2 . 1 2 = 1 2 3

...

N-ésimo caso: (CCC..CK) Conseguimos K na n-ésima tentativa → X = n

P X = n = P C C … C K = P C . P C … . P C . P K = 1 2 n - 1 . 1 2 = 1 2 n

Passo 3

Construindo a tabela de distribuição de X:

Resposta

Exercício Resolvido #4

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006

Considere o lançamento de três moedas. Se ocorre o evento   C C C , dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento C R C temos três sequências. Defina a variável aleatória X = número de caras obtidas e Y = número de sequências, isso para cada resultado possível. Assim, X ( C R R ) = 1 e Y   ( C R R ) = 2 . Obtenha as distribuições de   X e Y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos entender primeiro um pouco melhor essas variáveis X e Y ?

Vamos listar todos os possíveis resultados que podemos obter no lançamento de três moedas, chamando cara de C e coroa de R

Temos então oito iresultados! Cada um deles tem portanto 1 8 , ou   0,125 , de probabilidade de acontecer.

Passo 2

Para cada um dos possíveis casos, a variável X será a quantidade de caras obtidas e Y o número de sequências consecutivas. Então, teremos

Beleza?!

E agora podemos listar as probabilidades de cada X ou Y acontecerem também! Como?

Por exemplo, X = 2 quando temos C C R , C R C ou R C C . Então:

P X = 2 = P C C R + P C R C + P R C C = 0,125 + 0,125 + 0,125 = 0,375

Seguindo o mesmo raciocínio para o Y , teríamos, por exemplo:

P Y = 3 = P C R C + P R C R = 0,125 + 0,125 = 0,250

Show de bola?!

Resposta

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