Introdução à Variável Aleatória Discreta

Resumo Completo

Introdução

Me acompanha num exemplo tranquilo aqui!

Vamos considerar o lançamento de duas moedas em sequência de forma independente, qual seria a probabilidade de sair pelo menos uma vez “cara”?

Passo 1) Primeiro vamos construir nosso espaço amostral.

Ω {   C C ,   C K ,   K C ,   K K   }

Onde:

C :   "cara"   ,    K : "coroa"

Beleza? Pode sair cara nas duas moedas, cara na primeira e coroa na segunda, coroa na primeira e cara na segunda ou coroa nas duas.

Passo 2) Vamos chamar de X : " n ú m e r o   d e   c a r a s   q u e   s a e m   n o s   d o i s   l a n ç a m e n t o s " .

Concorda que X poderá assumir os valores de : 0 ,   1   e   2 ?

0 " K K "

1 "CK", "KC"

2 " C C "

E que a probabilidade de X assumir cada valor desse é:

P X = 0 = P KK = 1 4 = 0,25

P X = 1 = P C K , K C = 2 4 = 0,5

P X = 2 = P C C = 1 4 = 0,25

Passo 3) Montamos uma tabelinha com a quantidade de caras que pode sair nos lançamentos e a probabilidade de cada possibilidade.

Passo 4) Calculamos a probabilidade de sair pelo menos uma vez cara. Ou seja, a probabilidade de X assumir valores maiores ou iguais a um.

P X 1 = P X = 1 + P X = 2 = 0,5 + 0,25 = 0,75

Ou seja a probabilidade pedida é de 75 % .

Observe que a gente também podia resolver pensando que:

P X 1 = 1 - P ( X = 0 )

Concorda ? A probabilidade de sair cara pelo menos uma vez é igual a 1 menos a probabilidade de não sair nenhuma vez. Também daria 75 % .

Obs: Esse exemplo foi bem tranquilo e na verdade poderia ser resolvido de forma mais direta, mas preferi resolver assim pra você poder pegar melhor os próximos conceitos. Aguarde os exercícios haha

Bom, nesse exemplo, a variável que chamamos de X , poderia assumir valores aleatórios com uma probabilidade conhecida de assumir cada valor, correto ?

Isso que são variáveis aleatórias! – ou “v.a.”

Agora eu te pergunto, por que v.a. discreta ?

Chamamos casos como esse de v.a. discretas, porque essas variáveis só assumem valores finitos ou infinitos enumeráveis. OI? Haha, falei grego!

Quis dizer que no nosso caso, o resultado da moeda não pode ser metade cara, metade coroa. Ou é cara ou é coroa. Outros exemplos de v.a. discretas são:

  • Lançamento de um dado (não rola tirar 4,53 no dado)
  • Acidentes ocorridos numa semana (ninguém nunca ouviu no jornal: “hoje aconteceu 2,5 acidentes nas estradas”)
  • Número de aprovações no semestre (haha, não dá pra passar na metade da matéria)

Pegou a ideia ? Beleza, vem comigo então!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 1

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem reposição, e defina v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos lá!

Temos quantas bolas ao todo? 8 bolas.

3 vermelhas e 5 pretas

Vou retirar três sem reposição, podendo ser:

PPP, PPV,PVV,VVV

Certo?

Vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos:

Passo 2

1º caso: PPP X = 3

5 8 . 4 7 . 3 6 = 0,178

Passo 3

2º caso: PPV X = 2

3 ! 2 ! . 5 8 . 4 7 . 3 6 = 3   x   0,178 = 0,535

Passo 4

3º caso: PVV X = 1

3 ! 2 ! . 5 8 . 3 7 . 2 6 = 3   x   0,089 = 0,269

Passo 5

4º caso: VVV X = 0

3 8 . 2 7 . 1 6 = 0,0178

Passo 6

Então a distribuição de X será:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 135-02

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O que o enunciado quer? A distribuição de X, que ele definiu como uma variável aleatória igual ao número de bolas pretas da nossa extração.

Como retiramos três bolas temos as seguintes possibilidades:

V V V ,   V V P ,   V P P ,   P P P

Vamos olhar cada caso melhor?

Passo 2

1º caso: (VVV)   Nenhuma bola preta X = 0

Vamos calcular essa probabilidade a partir da seguinte fórmula:

P A = # A # Ω

Então, como temos reposição o número total de bolas não irá mudar...

P A = P X = 0 = 3 8 . 3 8 . 3 8 = 3 8 3

Passo 3

2º caso: (VVP)   Apenas uma bola preta X = 1

Calculando a partir da mesma fórmula do 1º caso teremos:

P B = P X = 1 = 3 8 . 3 8 . 5 8 = 3 8 2 . ( 5 8 )

Certo?

Opa! Não né? Temos que permutar pois podemos retirar: VVP, VPV, PVV. Certo?

P 3,2 = 3 ! 2 ! = 3

Então

P X = 1 = 3 . 3 8 2 5 8

Passo 4

3º caso: (VPP) Duas bolas pretas X = 2

Esse caso é super parecido com o 2º.

P X = 2 = 3 ! 2 ! . 3 8 . 5 8 5 8 = 3 . 3 8 . 5 8 2

Passo 5

4º caso: (PPP)   Três bolas pretas X = 3

Esse caso é parecido com o 1º só que agora com as bolas pretas.

P X = 3 = 5 8 . 5 8 . 5 8 = 5 8 3

Passo 6

Montando a tabela de distribuição de X:

Resposta

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 135-03

Suponha que uma moeda perfeita é lançada até que cara apareça pela primeira vez. Seja X o número de lançamentos até que isso aconteça. Obtenha a distribuição de X. (Observe que, nesse problema, pelo menos teoricamente, X pode assumir um número inifinito de valores.)

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos lançar moedas até dar cara, ou seja, enquanto der coroa continuamos a jogar.

Podemos ter as seguintes possibilidades:

Note que não temos um limite para X, então calcularemos até certo ponto apenas.

Passo 2

1º caso: (K)   Conseguimos K na primeira tentativa. X = 1

P X = 1 = P K = 1 2

2º caso: (CK) Conseguimos K na segunda tentativa X = 2

P X = 2 = P C K = P C . P K = 1 2 . 1 2 = 1 2 2

Perceba que aqui nós multiplicamos as probabilidades de quando dá C e quando dá K. Fazemos isso pois são eventos sucessivos, ocorrem um atrás do outro

3º caso: (CCK)   Conseguimos K na terceira tentativa X = 3

P X = 3 = P C C K = P C . P C . P K = 1 2 . 1 2 . 1 2 = 1 2 3

...

N-ésimo caso: (CCC..CK) Conseguimos K na n-ésima tentativa X = n

P X = n = P C C C K = P C . P C . P C . P K = 1 2 n - 1 . 1 2 = 1 2 n

Passo 3

Construindo a tabela de distribuição de X:

Resposta

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