Introdução à Variável Aleatória Contínua

Teoria Completa

Introdução

Cara, agora a idéia é entender um novo tipo de variável aleatória. Quando a gente falou de v.a. discreta o que acontecia é que nossa v.a. em geral só podia assumir um número finito de valores. Mas quando a gente vai modelar experimentos que envolvam quantidades “contínuas”, como:

  • Tempo
  • Peso
  • Volume

aquele tipo de v.a. não serve mais. É aí que entram as variáveis aleatórias contínuas. Acompanha aqui com um exemplo:

Exemplo: Imagine que tivemos que fazer um levantamento do tempo que um aluno gasta para terminar uma prova de Probest. Esse tempo gasto seria nossa v.a. X .

A gente tá lá na prova e tal, depois de 30 minutos sai o primeiro aluno e só depois de 2 horas sai o último.

Com isso, a gente consegue saber os nossos limites, o tempo mínimo e o máximo que os alunos gastaram na prova.

X m i n = 30   m i n u t o s

X m á x = 2   h o r a s

Mas aí, durante a prova, entre X m i n   e X m á x , a galera foi saindo de sala freneticamente em qualquer horário possível. Tipo, 32   m i n ,   1 h 20 m i n ,   1 h 27 m i n ,   1 h 27 m i n 45 s e g , etc.

No final, nosso trabalho ficou uma zona, cheio de nomes, horas, minutos, segundos.

Nossa conclusão foi que entre o mínimo e máximo, X podia assumir qualquer valor possível. Então X é uma variável aleatória contínua.

→ X é uma v.a. contínua porque pode assumir qualquer valor real (nesse caso, entre os seus valores de mínimo e máximo).

Função de densidade

Aquela nossa função de probabilidade da v.a. discreta agora receberá o nome de função de densidade, f ( x ) .

Ela não será mais determinada por uma tabela e sim por um gráfico. O que já era de se esperar, já que essa agora será uma função contínua, representada por retas ou curvas.

Uma coisa muito importante pra calcular probabilidades agora é que a gente não vai ficar somando os valores possíveis que a v.a. pode assumir. Ao invés disso, vamos calcular uma integral no intervalo que for pedido! Graficamente é isso aqui:

Só antes de a gente ir pra um exemplo, tem três coisas muito importantes pra você saber de v.a. contínua:

  • f ( x ) ≥ 0 para qualquer valor de x ;
  • ∫ - ∞ + ∞ f x   d x = 1 , a área total embaixo da curva é 1, que é a probabilidade máxima possível.
  • Para qualquer valor de a e b , P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x   d x , ou seja, a probabilidade do intervalo é igual a área de f ( x ) diretamente abaixo desse intervalo.

Exemplo: o tempo de vida útil de um equipamento eletrônico de determinado tipo pode ser expresso por uma v.a. contínua X , cuja função de densidade é:

f x = 1 2 . e - x 2 , p a r a   x ≥ 0 0 , p a r a   x < 0

Determine a probabilidade de que o equipamento dure entre 6 e 18 meses.

Vamos esboçar a função:

Solução: primeiro vamos verificar que a função dada é uma função de densidade, para isso basta verficarmos se:

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = 1

∫ - ∞ 0 0   d x + ∫ 0 + ∞ 1 2 . e - x 2   d x = 1

Vou deixar as contas por sua conta pra agilizar.

Agora podemos calcular a probabilidade pedida, lembrando que 6 meses é 0,5 anos e que 18 meses são 1,5 anos.

P 0,5 ≤ X ≤ 1,5 = ∫ 0,5 1,5 1 2 . e - x 2   d x =

e - 0,5 2 - e - 1,5 2 = 0,3064

Tranquilo ? Vamos continuar então ...

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, -01

Dada a função

f x =   2 e - 2 x , x ≥ 0 0 ,   x < 0

a) Mostre que esta é uma f.d.p.

b) Calcule a probabilidade de x > 10 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Bom, pelo o que vimos na teoria para mostrar que é uma f.d.p. precisamos que a integral dê igual a um certo? Então vamos integrar:

∫ 0 ∞ 2 e - 2 x d x

∫ 0 ∞ 2 e - 2 x d x = 2 × e - 2 x - 2 0 ∞ = 2 × 0 + e - 0 2 = 1

A integral deu 1 entããão mostramos que é uma f.d.p.

Passo 2

b) Queremos agora a probabilidade de x > 10 . Sabemos que:

F ( X ) = ∫ k ∞ 2 e - 2 x d x

Então

P X > 10 = ∫ 10 ∞ 2 e - 2 x   d x = 2 × e - 2 x - 2 10 ∞ = e - 20

Resposta

b) e - 20

Exercício Resolvido #2

7Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 166-02

Uma v.a. X tem a distribuição triangular no intervalo [0,1] se sua f.d.p. for dada por

f x =   0 ,                                         x < 0 C x ,                                                   0 ≤ x ≤ 1 2 C 1 - x ,                           1 2 ≤ x ≤ 1 0 ,                                         x > 1

a) Qual valor deve ter a constante C?

b) Faça o gráfico de f(x)

c) Determine P x ≤ 1 2 ,   P x > 1 2 e   P ( 1 4 ≤ x ≤ 3 4 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Qual valor dever ter a constante C?

De uma coisa nós sempre temos certeza: Se temos uma f.d.p. de uma v.a. contínua, sabemos que a integral no intervalo deve ser igual a um.

Como nesse caso temos quatro intervalos fragmentados, temos que a soma das integrais das funções de cada intervalo deve dar igual a um. Então

∫ - ∞ + ∞ f x d x = ∫ - ∞ 0 0   d x + ∫ 0 1 2 C x   d x + ∫ 1 2 1 C 1 - x + ∫ 1 + ∞ 0   d x = 1

C ∫ 0 1 2 x   d x + C ∫ 1 2 1 1 - x = 1

C × [   x 2 2 0 1 2 + x - x 2 2 1 2 1 ] = 1

C × 1 2 2 2 - 0 2 2 + 1 - 1 2 2 - 1 2 - 1 2 2 2 = 1

C ×   1 8 + 1 2 - 3 8 = 1

C × 2 8 = 1

C = 4

Passo 2

Vamos montar o gráfico agora mas primeiro vamos substituir o C na função:

f x =   0 ,                                         x < 0 4 x ,                                                   0 ≤ x ≤ 1 2 4 1 - x ,                           1 2 ≤ x ≤ 1 0 ,                                         x > 1

Montando as funções por partes

Passo 3

c) Determine P x ≤ 1 2 ,   P x > 1 2 e   P ( 1 4 ≤ x ≤ 3 4 )

Vamos fazer olhando para o gráfico? Já sabemos que a probabilidade é a área do gráfico...

  • P x ≤ 1 2
  •   P x > 1 2
  • P ( 1 4 ≤ x ≤ 3 4 )

Resposta

a) C=4

b)

c) 1 2 ; 1 2 ; 3 4

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P1-2012.2-3

O tempo de espera (em minutos) para ser atendido em um sistema de conversa on-line de uma empresa comporta-se de acordo com a seguinte função de densidade

f t = 2 t 3 ,                                                 t ≥ m 0 ,                 c a s o   c o n t r á r i o .

  1. Determine o valor de m .
  2. Calcule a probabilidade de um cliente esperar pelo menos 5 minutos dado que já esperou pelo menos 2 minutos.
  3. O administrador do sistema afirmou que 96% dos usuários esperam no máximo 5 minutos para serem atendidos. Você concorda com o administrador? Justifique a sua resposta.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Se isso aí é uma função de densidade, a gente sabe que:

∫ m ∞ 2 t 3   d t = 1

- t - 2 m ∞ = 1

m - 2 = 1

1 m 2 = 1

m = 1

Já que não faz sentido ter m negativo.

Passo 2

(b)

O exercício pede uma prob. Condicional P X ≥ 5 X ≥ 2 .

P X ≥ 5 X ≥ 2 = P X ≥ 5 ∩ X ≥ 2 P X ≥ 2

Pela lógica P X ≥ 5 ∩ X ≥ 2 = P ( X ≥ 5 ) , concorda?

A interseção entre a probabilidade de X ser maior ou igual a 5 com X ser maior ou igual a 2, é igual a de X ser maior ou igual a 5, porque tudo que é maior ou igual a 5 também é maior ou igual a 2 e o inverso não é verdade. Enfim, continuando a conta:

P X ≥ 5 X ≥ 2 = P X ≥ 5 P X ≥ 2

Passo 3

P X ≥ 5 = ∫ 5 ∞ 2 t 3   d t

= - t - 2 5 ∞

= 1 25            

Pensando da mesma forma:

P X ≥ 2 = 1 4

Substituindo na fórmula lá:

P X ≥ 5 X ≥ 2 = 1 25 1 4

= 4 25

Passo 4

(c)

O exercício afirma que:

P X ≤ 5 = F 5 = 0,96

A gente sabe que:

P X ≤ 5 = 1 - P X ≥ 5