Introdução à Variável Aleatória Contínua

Teoria Completa

Introdução

Fala Aí!!! Vamos pensar na seguinte situação:

Um barco carregando óleo sofreu um vazamento no casco e o óleo é derramado. As autoridades Ambientais querem fazer um estudo para tentar estimar a área atingida pelo óleo.

Podemos criar uma variável aleatória X   para analisar os possíveis valores para a área afetada.

Vocês conseguem perceber que podemos ter um infinidades de valores para essa área afetada? Para resolver esse tipo de problema utilizamos a variável aleatória contínua.

Nós podemos ter v.a. discreta e contínua. A diferença entre as duas é que a v.a. discreta o que acontecia é que nossa v.a. em geral só podia assumir um número finito de valores. Nesse caso, quando nossa variável pode assumir infinitos valores nós precisamos de uma variável aleatória contínua para resolver o problema. Beleza?!

Variável Aleatória Contínua

Então vamos lá! Utilizarem a Variável Aleatória Contínua quando queremos modelar experimentos que envolvam quantidades “contínuas”, como por exemplo:

  • Tempo
  • Peso
  • Área
  • Volume

Essas quantidades podem assumir infinitos valores, concorda?! Então é aí que entra as variáveis aleatórias contínuas. Acompanha aqui com um exemplo:

Exemplo

Imagine que tivemos que fazer um levantamento do tempo que um aluno gasta para terminar uma prova de Probest. Esse tempo gasto seria nossa v.a. X .

A gente tá lá na prova e tal, depois de 30 minutos sai o primeiro aluno e só depois de 2 horas sai o último.

Beleza, com isso a gente consegue saber os nossos limites, o tempo mínimo e o máximo que os alunos gastaram na prova:

X m i n = 30   m i n u t o s

X m á x = 2   h o r a s

Mas aí, durante a prova, entre X m i n   e X m á x , a galera foi saindo de sala freneticamente em qualquer horário possível. 32   m i n ,   1 h 20 m i n ,   1 h 27 m i n ,   1 h 27 m i n 45 s e g , etc.

Percebem a infinidade de valores para o tempo de prova?

Nossa conclusão foi que entre o mínimo e máximo, X podia assumir qualquer valor possível. Então X é uma variável aleatória contínua. Show de bola?!

X é uma v.a. contínua porque pode assumir qualquer valor real (nesse caso, entre os seus valores de mínimo e máximo).

Conseguiram captar a diferença entre v.a. discreta e contínua?

Temos uma variável aleatória, se ela poder assumir valores finitos então estamos falando de uma variável aleatória discreta, quando ela puder assumir infinitos valores estamos lidando com uma variável aleatória contínua. Beleza?!

Função de densidade

Aquela nossa função de probabilidade da v.a. discreta agora receberá o nome de função de densidade, f ( x ) .

Ela não será mais determinada por uma tabela e sim por um gráfico. O que já era de se esperar, já que essa agora será uma função contínua, representada por retas ou curvas.

Uma coisa muito importante pra calcular probabilidades agora é que a gente não vai ficar somando os valores possíveis que a v.a. pode assumir. Ao invés disso, vamos calcular uma integral no intervalo que for pedido! Graficamente é isso aqui:

Só antes de a gente ir pra um exemplo, tem três coisas muito importantes pra você saber de v.a. contínua:

  • f ( x ) ≥ 0 para qualquer valor de x ;
  • ∫ - ∞ + ∞ f x   d x = 1 , a área total embaixo da curva é 1, que é a probabilidade máxima possível.
  • Para qualquer valor de a e b , P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x   d x , ou seja, a probabilidade do intervalo é igual a área de f ( x ) diretamente abaixo desse intervalo.

Exemplo

o tempo de vida útil de um equipamento eletrônico de determinado tipo pode ser expresso por uma v.a. contínua X , cuja função de densidade é:

f x = 1 2 . e - x 2 , p a r a   x ≥ 0 0 , p a r a   x < 0

Determine a probabilidade de que o equipamento dure entre 6 e 18 meses.

Para resolver esse exemplo antes de mais nada precisamos lembrar que 6 meses é 0,5 anos e que 18 meses são 1,5 anos. Beleza?!

Vamos esboçar a função:

Primeiro vamos verificar que a função dada é uma função de densidade, para isso basta verficarmos se:

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = 1

Beleza?! Se você reparar

∫ - ∞ 0 0   d x = 0

e

∫ 0 + ∞ 1 2 . e - x 2   d x = 1

Então,

∫ - ∞ 0 0   d x + ∫ 0 + ∞ 1 2 . e - x 2   d x = 1

Show de bola?!

Agora podemos calcular a probabilidade pedida,

P 0,5 ≤ X ≤ 1,5 = ∫ 0,5 1,5 1 2 . e - x 2   d x

=   e 2 - 0,5 2 - e - 1,5 2 2 = 0,3064

Tranquilo?!

Vamos praticar um pouco mais nos exercícios??

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, -01

Dada a função

f x =   2 e - 2 x , x ≥ 0 0 ,   x < 0

a) Mostre que esta é uma f.d.p.

b) Calcule a probabilidade de x > 10 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Bom, pelo o que vimos na teoria para mostrar que é uma f.d.p. precisamos que a integral dê igual a um certo? Então vamos integrar:

∫ 0 ∞ 2 e - 2 x d x

∫ 0 ∞ 2 e - 2 x d x = 2 × e - 2 x - 2 0 ∞ = 2 × 0 + e - 0 2 = 1

A integral deu 1 entããão mostramos que é uma f.d.p.

Passo 2

b) Queremos agora a probabilidade de x > 10 . Sabemos que:

F ( X ) = ∫ k ∞ 2 e - 2 x d x

Então

P X > 10 = ∫ 10 ∞ 2 e - 2 x   d x = 2 × e - 2 x - 2 10 ∞ = e - 20

Resposta

b) e - 20

Exercício Resolvido #2

7Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 166-02

Uma v.a. X tem a distribuição triangular no intervalo [0,1] se sua f.d.p. for dada por

f x =   0 ,                                         x < 0 C x ,                                                   0 ≤ x ≤ 1 2 C 1 - x ,                           1 2 ≤ x ≤ 1 0 ,                                         x > 1

a) Qual valor deve ter a constante C?

b) Faça o gráfico de f(x)

c) Determine P x ≤ 1 2 ,   P x > 1 2 e   P ( 1 4 ≤ x ≤ 3 4 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Qual valor dever ter a constante C?

De uma coisa nós sempre temos certeza: Se temos uma f.d.p. de uma v.a. contínua, sabemos que a integral no intervalo deve ser igual a um.

Como nesse caso temos quatro intervalos fragmentados, temos que a soma das integrais das funções de cada intervalo deve dar igual a um. Então

∫ - ∞ + ∞ f x d x = ∫ - ∞ 0 0   d x + ∫ 0 1 2 C x   d x + ∫ 1 2 1 C 1 - x + ∫ 1 + ∞ 0   d x = 1

C ∫ 0 1 2 x   d x + C ∫ 1 2 1 1 - x = 1

C × [   x 2 2 0 1 2 + x - x 2 2 1 2 1 ] = 1

C × 1 2 2 2 - 0 2 2 + 1 - 1 2 2 - 1 2 - 1 2 2 2 = 1

C ×   1 8 + 1 2 - 3 8 = 1

C × 2 8 = 1

C = 4

Passo 2

Vamos montar o gráfico agora mas primeiro vamos substituir o C na função:

f x =   0 ,                                         x < 0 4 x ,                                                   0 ≤ x ≤ 1 2 4 1 - x ,                           1 2 ≤ x ≤ 1 0 ,                                         x > 1

Montando as funções por partes

Passo 3

c) Determine P x ≤ 1 2 ,   P x > 1 2 e   P ( 1 4 ≤ x ≤ 3 4 )

Vamos fazer olhando para o gráfico? Já sabemos que a probabilidade é a área do gráfico...

  • P x ≤ 1 2
  •   P x > 1 2
  • P ( 1 4 ≤ x ≤ 3 4 )

Resposta

a) C=4

b)

c) 1 2 ; 1 2 ; 3 4

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P1-2012.2-3

O tempo de espera (em minutos) para ser atendido em um sistema de conversa on-line de uma empresa comporta-se de acordo com a seguinte função de densidade

f t = 2 t 3 ,                                                 t ≥ m 0 ,                 c a s o   c o n t r á r i o .

  1. Determine o valor de m .
  2. Calcule a probabilidade de um cliente esperar pelo menos 5 minutos dado que já esperou pelo menos 2 minutos.
  3. O administrador do sistema afirmou que 96% dos usuários esperam no máximo 5 minutos para serem atendidos. Você concorda com o administrador? Justifique a sua resposta.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Se isso aí é uma função de densidade, a gente sabe que:

∫ m ∞ 2 t 3   d t = 1

- t - 2 m ∞ = 1

m - 2 = 1

1 m 2 = 1

m = 1

Já que não faz sentido ter m negativo.

Passo 2

(b)

O exercício pede uma prob. Condicional P X ≥ 5 X ≥ 2 .

P X ≥ 5 X ≥ 2 = P X ≥ 5 ∩ X ≥ 2 P X ≥ 2

Pela lógica P X ≥ 5 ∩ X ≥ 2 = P ( X ≥ 5 ) , concorda?

A interseção entre a probabilidade de X ser maior ou igual a 5 com X ser maior ou igual a 2, é igual a de X ser maior ou igual a 5, porque tudo que é maior ou igual a 5 também é maior ou igual a 2 e o inverso não é verdade. Enfim, continuando a conta:

P X ≥ 5 X ≥ 2 = P X ≥ 5 P X ≥ 2

Passo 3

P X ≥ 5 = ∫ 5 ∞ 2 t 3   d t

= - t - 2 5 ∞

= 1 25            

Pensando da mesma forma:

P X ≥ 2 = 1 4

Substituindo na fórmula lá:

P X ≥ 5 X ≥ 2 = 1 25 1 4

= 4 25

Passo 4

(c)

O exercício afirma que:

P X ≤ 5 = F 5 = 0,96

A gente sabe que:

P X ≤ 5 = 1 - P X ≥ 5

                    = 1 - 1 25          

= 24 25      

= 0,96

Logo, a gente concorda com o administrador.

Resposta

a   m = 1

b 4 25

c   s i m

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Classifique as variáveis abaixo como discretas ou contínuas:a) Altura de alunos de uma universidadeb) Tempo de espera numa filac) Número de idas ao cinema por anod) Quantidade de refrigerante nas latinhase) Quantidade de copas sorteadas num baralho

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A altura de um aluno pode ser 1,75 m   por exemplo, certo? E qual a próxima altura depois dessa? 1,76 m ? Mas por que não 1 , 759 m ? Ou 1 , 751 m ? Reparou que não conseguimos quantificar essas alturas como finitas e sempre vamos poder achar infitas alturas em um intervalo? Por isso, podemos dizer que nossa variável é contínua!

Passo 2

Mesma coisa agora... tempo é o exemplo perfeito de v.a. contínua, por que sempre podemos falar de horas, minutos, segundos, milisegundos, especificando cada vez mais. E isso é infinito! Então também é uma v.a. contínua.

Passo 3

Quantas vezes podemos ir ao cinema no ano? 5, 8, 10, 15 vezes, sempre algo desse tipo, certo? Não conseguimos ir, por exemplo, 11,5 vezes. Então nossas idas ao cinema são finitas, e portanto, são discretas!

Passo 4

Quando falamos de massa, tipo a quantidade de refrigerante numa latinha, temos outro exemplo onde as variáveis contínuas são muito mais coerentes, porque sempre podemos especificar cada vez mais a quantidade de refrigerante em questão, e gerar assim infinitos valores válidos para a variável. Portanto, também é contínua.

Passo 5

Num baralho temos 13 cartas de cada naipe, certo? Então sortear copas num baralho significa que vamos ter de 0 a 13 copas necessariamente, certo? E entre esse 0 e 13 só vamos ter números inteiros, nada de 4,5 copas. Então aqui temos uma v.a. discreta!

Resposta

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