Propriedades do Valor Esperado e da Variância

Teoria Completa

Introdução

Vamos começar com um exemplo? Vem comigo!

Vamos considerar um vendedor de livros, supondo que em média ele lucre R $ 20,00 por venda. Qual seria, em média, o lucro dele com a venda de 100 livros?

Bom, vamos dar nome aos bois.

X : l u c r o   p o r   l i v r o

Y : l u c r o   c o m   100   l i v r o s

Logo:

Y = 100 . X

O problema nos pede o lucro médio na venda de 100 livros, ou seja:

E Y =   ?

Já sabemos que E X = 20 , lucro médio por livro.

Logicamente, se o lucro com a venda de 1 livro é igual a R $ 20,00 , então com a venda de 100 livros teríamos:

l u c r o = 100 × 20 = R $ 2.000,00

E Y = R $ 2.000,00

Esse exemplo foi bem tranquilo, mas mostra claramente a utilização direta de algumas propriedades que veremos agora.

Propriedades Importantes

Esperança e variância de uma constante

Se c é uma constante,

E c = c

V a r c = 0

Linearidade da esperança

Seja X uma v.a., e Y = a X + b , com a e b quaisquer reais. Então:

E Y = E a X + b = a . E X + b

Variância de a X + b

Sendo a   e b reais,

V a r a X + b = a 2 . V a r ( X )

Desvio padrão de a X + b

Sendo a e b reais,

D P a X + b = a . D P ( X )

Mas claro que você também pode, ao invés disso, calcular a variância e tirar a raíz quadrada dela.

Acredita em mim, você vai precisar dessas regrinhas na sua prova. Vamos praticar pra fixar melhor isso aí num exemplo:

“Uma variável é descrita pela função X = 3 Y + 2 . Sabendo que E Y = 2,5 E V a r Y = 0,16 , calcule a esperança, a variância e o desvio padrão de X .”

Passo 1) “Aplicamos” esperança dos dois lados da equação. Finge que é uma operação matemática e só vai:

X = 3 Y + 2

E X = E ( 3 Y + 2 )

Agora lembrando das propriedades que vimos, isso aí simplificado fica:

E X = 3 E Y + 2

Como E Y = 2,5 ...

E X = 3 × 2,5 + 2 = 9,5

Passo 2) “Aplicamos” variância dos dois lados da equação da mesma forma:

X = 3 Y + 2

V a r X = V a r ( 3 Y + 2 )

Que usando as propriedades fica...

V a r X = 3 ² V a r ( Y )

E como V a r Y = 0,16 ...

V a r X = 3 2 × 0,16 = 1,44

O desvio padrão é então:

D P X = 1,44 = 1,2

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,140-17

O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade

a) Calcule o tempo médio de processamento.

Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $2,00, mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha $0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de $1,00.

b) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia de $ ganha por peça.

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Passo 1

a) Tempo médio de processamento

Quando ele fala de tempo médio Está falando da média!

E T = 2 × 0,1 + 3 × 0,1 + 4 × 0,3 + 5 × 0,2 + 6 × 0,2 + 7 × 0,1 = 4,6

Passo 2

b) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia de $ ganha por peça.

Vamos analisar quem é a v.a. G

O quanto cada operário ganha é:

G = $ = 2,00 + 0,5 ( 6 - t )

Ou seja, são $2,00 fixos + $0,50 por minuto poupado.

Passo 3

Vamos substituir os t possíveis nesta equação para saber os valores possíveis de G:

- t = 2

G ( t = 2 ) = 2 + 0,5 . 6 - 2 = 2 + 0,5 × 4 = 4

- t = 3

G t = 3 = 2 + 0,5 6 - 3 = 2 + 0,5 × 3 = 3,5

- t = 4

G t = 4 = 2 + 0,5 6 - 4 = 2 + 0,5 × 2 = 3

- t = 5

G t = 5 = 2 + 0,5 6 - 5 = 2 + 0,5 × 1 = 2,5

- t = 6

G t = 6 = 2 + 0,5 6 - 6 = 2,0

Passo 4

Montando uma tabela de distribuição de G:

Passo 5

Calculando o que se pede:

E G = 2 × 0,3 + 2,5 × 0,2 + 3,0 × 0,3 + 3,5 × 0,1 + 4,0 × 0,1 = 2,75

V a r G = E G 2 - E G 2

E G 2 = 4 × 0,3 + 6,25 × 0,2 + 9 × 0,3 + 12,25 × 0,1 + 16 × 0,1 = 7,975

V a r G = 7,975 - 2,75 2 = 0,4125

Resposta

a) 4,6

b)E(G)=2,75 e Var(G)=0,4125

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-2014.1-1C

c) Seja “ X ” uma v.a. discreta com E X = 6 e D P X = 3 é o desvio padrão de X . Se Y = 2 3 . X - 9 , quem é E ( Y ) e D P ( Y ) .

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Passo 1

A gente sabe o que?

E X = 6     e     D P X = 3

Beleza, e a gente quer calcular esses valores para a v.a. Y = 2 3 . X - 9 .

Pra isso a gente vai precisar só usar as propriedades da esperança e do desvio padrão. Lembra?

Passo 2

E Y = E a X + b = a . E X + b

E Y = E 2 3 . X - 9

= 2 3 E X - 9

Usamos a propriedade a multiplicação de uma constante e da esperança de uma constante.

= 2 3 . 6 - 9

= - 5                  

Passo 3

A mesma coisa pro desvio padrão:

D P a X + b = a . D P ( X )

D P Y = D P 2 3 . X - 9

= 2 3 . D P X

= 2 3 . 3 = 2          

Resposta

E Y = - 5

D P Y = 2

Exercício Resolvido #3

UERJ-lista 1 prof Fabiano-18(b)

Uma transportadora de cargas possui quatro caminhões de aluguel. O aluguel é realizado por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados por dia ( x ) é dada por:

Sabendo que o aluguel por dia é da ordem de U S $   300 e que a despesa total diária com a manutenção de cada veículo é igual a U S $   140 quando este é alugado e de U S $   15 , quando tal fato não ocorre, encontre:

  1. O número médio diário de caminhões alugados e o desvio padrão.
  2. A média e o desvio padrão do lucro diário
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Passo 1

(a)

Se a gente chamar de X a v.a. que representa o número de caminhões alugados por dia. A gente já tem a tabela com os valores possíveis para X (0,1,2,3,4) e suas respectivas probabilidades.

Pra calcular o número médio de caminhões alugados é só calcular:

E X =   ∑ i = 1 n x i . p ( x i )

E X = 0 × 0,1 + 1 × 0,2 + 2 × 0,3 + 3 × 0,3 + 4 × 0,1

E X = 2,1

Passo 2

Pra calcular a variância usamos a fórmula:

s ² x = ∑ i = 1 n x i 2 . p x i - E X 2

s ² x = 0 2 × 0,1 + 1 2 × 0,2 + 2 2 × 0,3 + 3 2 × 0,3 + 4 2 × 0,1 - 2,1 2