Propriedades do Valor Esperado e da Variância

Teoria Completa

Introdução

Vamos começar com um exemplo? Vem comigo!

Vamos considerar um vendedor de livros, supondo que em média ele lucre R $ 20,00 por venda. Qual seria, em média, o lucro dele com a venda de 100 livros?

Bom, vamos dar nome aos bois.

X : l u c r o   p o r   l i v r o

Y : l u c r o   c o m   100   l i v r o s

Logo:

Y = 100 . X

O problema nos pede o lucro médio na venda de 100 livros, ou seja:

E Y =   ?

Já sabemos que E X = 20 , lucro médio por livro.

Logicamente, se o lucro com a venda de 1 livro é igual a R $ 20,00 , então com a venda de 100 livros teríamos:

l u c r o = 100 × 20 = R $ 2.000,00

E Y = R $ 2.000,00

Esse exemplo foi bem tranquilo, mas mostra claramente a utilização direta de algumas propriedades que veremos agora.

Propriedades Importantes

Esperança e variância de uma constante

Se c é uma constante,

E c = c

V a r c = 0

Linearidade da esperança

Seja X uma v.a., e Y = a X + b , com a e b quaisquer reais. Então:

E Y = E a X + b = a . E X + b

Variância de a X + b

Sendo a   e b reais,

V a r a X + b = a 2 . V a r ( X )

Desvio padrão de a X + b

Sendo a e b reais,

D P a X + b = a . D P ( X )

Mas claro que você também pode, ao invés disso, calcular a variância e tirar a raíz quadrada dela.

Acredita em mim, você vai precisar dessas regrinhas na sua prova. Vamos praticar pra fixar melhor isso aí num exemplo:

“Uma variável é descrita pela função X = 3 Y + 2 . Sabendo que E Y = 2,5 E V a r Y = 0,16 , calcule a esperança, a variância e o desvio padrão de X .”

Passo 1) “Aplicamos” esperança dos dois lados da equação. Finge que é uma operação matemática e só vai:

X = 3 Y + 2

E X = E ( 3 Y + 2 )

Agora lembrando das propriedades que vimos, isso aí simplificado fica:

E X = 3 E Y + 2

Como E Y = 2,5 ...

E X = 3 × 2,5 + 2 = 9,5

Passo 2) “Aplicamos” variância dos dois lados da equação da mesma forma:

X = 3 Y + 2

V a r X = V a r ( 3 Y + 2 )

Que usando as propriedades fica...

V a r X = 3 ² V a r ( Y )

E como V a r Y = 0,16 ...

V a r X = 3 2 × 0,16 = 1,44

O desvio padrão é então:

D P X = 1,44 = 1,2

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,140-17

O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade

a) Calcule o tempo médio de processamento.

Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $2,00, mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha $0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de $1,00.

b) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia de $ ganha por peça.

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Passo 1

a) Tempo médio de processamento

Quando ele fala de tempo médio Está falando da média!

E T = 2 × 0,1 + 3 × 0,1 + 4 × 0,3 + 5 × 0,2 + 6 × 0,2 + 7 × 0,1 = 4,6

Passo 2

b) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia de $ ganha por peça.

Vamos analisar quem é a v.a. G

O quanto cada operário ganha é:

G = $ = 2,00 + 0,5 ( 6 - t )

Ou seja, são $2,00 fixos + $0,50 por minuto poupado.

Passo 3

Vamos substituir os t possíveis nesta equação para saber os valores possíveis de G:

- t = 2

G ( t = 2 ) = 2 + 0,5 . 6 - 2 = 2 + 0,5 × 4 = 4

- t = 3

G t = 3 = 2 + 0,5 6 - 3 = 2 + 0,5 × 3 = 3,5

- t = 4

G t = 4 = 2 + 0,5 6 - 4 = 2 + 0,5 × 2 = 3

- t = 5

G t = 5 = 2 + 0,5 6 - 5 = 2 + 0,5 × 1 = 2,5

- t = 6

G t = 6 = 2 + 0,5 6 - 6 = 2,0

Passo 4

Montando uma tabela de distribuição de G:

Passo 5

Calculando o que se pede:

E G = 2 × 0,3 + 2,5 × 0,2 + 3,0 × 0,3 + 3,5 × 0,1 + 4,0 × 0,1 = 2,75

V a r G = E G 2 - E G 2

E G 2 = 4 × 0,3 + 6,25 × 0,2 + 9 × 0,3 + 12,25 × 0,1 + 16 × 0,1 = 7,975

V a r G = 7,975 - 2,75 2 = 0,4125

Resposta

a) 4,6

b)E(G)=2,75 e Var(G)=0,4125

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-2014.1-1C

c) Seja “ X ” uma v.a. discreta com E X = 6 e D P X = 3 é o desvio padrão de X . Se Y = 2 3 . X - 9 , quem é E ( Y ) e D P ( Y ) .

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Passo 1

A gente sabe o que?

E X = 6     e     D P X = 3

Beleza, e a gente quer calcular esses valores para a v.a. Y = 2 3 . X - 9 .

Pra isso a gente vai precisar só usar as propriedades da esperança e do desvio padrão. Lembra?

Passo 2

E Y = E a X + b = a . E X + b

E Y = E 2 3 . X - 9

= 2 3 E X - 9

Usamos a propriedade a multiplicação de uma constante e da esperança de uma constante.

= 2 3 . 6 - 9

= - 5                  

Passo 3

A mesma coisa pro desvio padrão:

D P a X + b = a . D P ( X )

D P Y = D P 2 3 . X - 9

= 2 3 . D P X

= 2 3 . 3 = 2          

Resposta

E Y = - 5

D P Y = 2

Exercício Resolvido #3

UERJ-lista 1 prof Fabiano-18(b)

Uma transportadora de cargas possui quatro caminhões de aluguel. O aluguel é realizado por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados por dia ( x ) é dada por:

Sabendo que o aluguel por dia é da ordem de U S $   300 e que a despesa total diária com a manutenção de cada veículo é igual a U S $   140 quando este é alugado e de U S $   15 , quando tal fato não ocorre, encontre:

  1. O número médio diário de caminhões alugados e o desvio padrão.
  2. A média e o desvio padrão do lucro diário
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Passo 1

(a)

Se a gente chamar de X a v.a. que representa o número de caminhões alugados por dia. A gente já tem a tabela com os valores possíveis para X (0,1,2,3,4) e suas respectivas probabilidades.

Pra calcular o número médio de caminhões alugados é só calcular:

E X =   ∑ i = 1 n x i . p ( x i )

E X = 0 × 0,1 + 1 × 0,2 + 2 × 0,3 + 3 × 0,3 + 4 × 0,1

E X = 2,1

Passo 2

Pra calcular a variância usamos a fórmula:

s ² x = ∑ i = 1 n x i 2 . p x i - E X 2

s ² x = 0 2 × 0,1 + 1 2 × 0,2 + 2 2 × 0,3 + 3 2 × 0,3 + 4 2 × 0,1 - 2,1 2

s ² x = 1,29

Aí agora podemos calcular o desvio padrão que é a raiz quadrada da variância:

s x = 1,29 ≅ 1,14

Passo 3

(b)

Bom, nós sabemos que a definição de lucro é:

L u c r o = F a t u r a m e n t o - D e s p e s a s   t o t a i s

Nosso faturamento vai ser o aluguel das caminhonetes. Como o aluguel de cada uma custa U S $   300 :

F a t u r a m e n t o = 300 X

Onde X continua representando o número de caminhonetes alugadas por dia.

E nossas despesas totais? O enunciado diz que cada caminhonete alugada traz U S $   140 de despesas, ou seja:

D e s p e s a   d a s   a l u g a d a s = 140 X

E quando uma caminhonete não é alugada, a despesa que ela traz é de U S $   15 . Mas quantas caminhonetes não vão ser alugadas? O total de caminhonetes menos a quantidade que for alugada, certo? Ou seja, ( 4 - X ). Então temos que:

D e s p e s a   d a s   n ã o   a l u g a d a s = 15 ( 4 - X )

E as despesas totais serão a soma dessas duas aí:

D e s p e s a s   t o t a i s = 140 X + 15 ( 4 - X )

Passo 4

Nossa equação do lucro, substituindo tudo que achamos, fica assim então:

L u c r o = 300 X - 140 X + 15 4 - X = 160 X + 15 X - 60

L u c r o = 175 X - 60

Show! Agora podemos calcular o que foi pedido. Para a média do lucro, podemos “aplicar” a esperança dos dois lados da equação:

E L u c r o = E ( 175 X - 60 )

Fazendo a distribuiva...

E L u c r o = E 175 X - E ( 60 )

A constante que está multiplicando o X pode sair dos parênteses multiplicando a esperança, e a esperança de uma constante vale a própria constante, então...

E L u c r o = E 175 X - E 60 = 175 E X - 60

Mas já vimos na letra a) que E X = 2,1 , substituindo:

E L u c r o = 175 × 2,1 - 60 = 307,5

Essa aí então é a média do nosso lucro diário.

Passo 5

Para o desvio padrão, vamos seguir o mesmo raciocínio. Tirando a variância dos dois lados da equação do lucro:

L u c r o = 175 X - 60

V a r L u c r o = V a r ( 175 X - 60 )

Distributiva...

V a r L u c r o = V a r 175 X - V a r ( 60 )

A constante multiplicando o X sai da variância ao quadrado, e a variância de uma constante é igual a zero, então...

V a r L u c r o = V a r 175 X - V a r 60 = 175 2 V a r X - 0

V a r L u c r o = 175 ² V a r ( X )

Mas lá na letra a) vimos que a variância de X é 1,29 . Substituindo:

V a r L u c r o = 175 ² × 1,29 = 39506,25

Mas nós queremos o desvio padrão do lucro diário, então tira a raiz disso aí:

D P L u c r o = 39506,25 ≅ 198,76

Resposta

a   E X = 2,1   c a m i n h õ e s     ,     D P ( X ) ≅ 1,14   c a m i n h õ e s

b   E L u c r o = 307,5     ,     D P ( L u c r o ) ≅ 198,76

Exercício Resolvido #4

FONTE

Prove as expressões abaixo:

E a X + b = a E X + b

V a r a X + b = a 2 V a r X

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Passo 1

1ª coisa: NÃO PIRA! Vamos com calma ok?

Vamos lembrar o que cada coisa é, ou seja, o que é média e variância ok?

E X = ∑ x . p x

Então jogando nessa fórmula teremos:

E a X + b = ∑ a X + b p ( a X + b )

Mas você concorda que:

P a X + b = P ( X )

Ou não?

Se não concorda, pensa comigo aqui rapidinho... Imagina um dado ok? Temos alguns possíveis resultados de X certo? Eles são...

X = 1,2 , 3,4 , 5,6

E temos que

P X = 1 = P X = 2 = … = P X = 6 = 1 6

Sim?

Agora imagina que usamos esse dado em um jogo de tabuleiro, onde temos uma regra que diz:

O número de casas que o jogador deve avançar é o dobro do número obtido ao jogar os dados mais três casas.”

Opa! E aí? O que ele quis dizer?

N º   c a s a s   a v a n ç a d a s = 2 x + 3  

Entãão se jogarmos o dado e tiramos:

Nº do dado(X)

Nº de casas(Y)

1

2.1+3

5

2

2.2+3

7

3

2.3+3

9

4

2.4+3

11

5

2.5+3

13

6

2.6+3

15

Então temos novamente seis possibilidades? Podemos andar 5,7,9,11,13 ou 15 casas certo? Então percebe que podemos dizer que a probabilidade de:

P Y = 5 = P X = 1 = 1 6

E podemos dizer isso para todos? ((:

Então vamos continuar naquela expressão... Onde estávamos mesmo?

E a X + b = ∑ a X + b p a X + b = ∑ a X + b p X

E a X + b = ∑ a X . p x + b . p X = ∑ a X . p ( X ) + ∑ b p X = a ∑ X . p X + b ∑ p X

Epa! Olha só:

Então

E a X + b = a E X + b

Passo 2

Vamos olhar a outra expressão agora? Mas primeiro vamos relembrar a expressão de variância

V a r X = E X 2 - E X 2

Substituindo teremos

V a r a X + b = E a X + b 2 - E a X + b 2                                 ( i )

Desenvolvendo (produto notável!!!) & substituindo E a X + b = a E X + b ...

V a r a X + b = E a X 2 + 2 a b X + b 2 - { a E X 2 + 2 a b E X + b ² }                         ( i i )

Olhando para E a x 2 - 2 a b x + b 2 simbora desenvolver? Vamos usar a mesma lógica da primeira expressão que deduzimos (:

E a X 2 + 2 a b X + b 2 = E a 2 X 2 + 2 a b X + b 2 = a 2 E X 2 + 2 a b E X + b 2                       ( i i i )

Substituindo (iii) em (ii)

V a r a X + b = a 2 E X 2 + 2 a b E X + b 2 - a 2 E X 2 - 2 a b E X - b 2

Cancelando

V a r a X + b = a 2 E X 2 - a 2 E X 2 = a 2 E X 2 - E X 2

V a r a X + b = a 2 V a r ( X )

Resposta

Exercício Resolvido #5

UERJ-lista 1 prof Fabiano-20

Uma máquina do tipo caça-níqueis é composta por três discos que giram de forma independente, cada qual contendo as seguintes figuras: 2 laranjas, 3 bananas, 4 maçãs e 5 morangos. O apostador deve pagar 50 reais para jogar. Se sair 3 laranjas, ele ganha 250 reais; se sair 3 bananas, ganha 200 reais; se sair 3 maçãs, ganha 150 reais e se sair 3 morangos, ganha 100 reais; em qualquer outra situação ele perde. Pergunta-se: qual o lucro esperado de um jogador em uma jogada? E se o jogador fizer dez jogadas?

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Passo 1

Tá, primeiro a gente tem que avaliar quais são as possibilidades de lucro que a gente tem.

E depois a gente calcula a probabilidade de cada uma acontecer, pra gente conhecer o lucro esperado.

Passo 2

Quais são os possíveis lucros ?

A gente sabe que independente do que sair, ele paga 50 reais.

Bom, quando sair 3 laranjas, ele recebe 250 reais, tendo um lucro de 200 reais. Concorda?

Pensando da mesma forma:

3   l a r a n j a s -   r e c e b e   250 - l u c r a   200

3   b a n a n a s - r e c e b e   200 - l u c r a   150

3   m a ç ã s - r e c e b e   150 - l u c r a   100

3   m o r a n g o s - r e c e b e   100 - l u c r a   50

Qualquer outro resultado que saia ele tem um prejuízo de 50 reais. Beleza?

q u a l q u e r   o u t r o   r e s u l t a d o - p r e j u í z o   d e   50

Passo 3

Organizando numa tabela pra ficar mais fácil:

Agora vamos calcular a probabilidade de cada um desses lucros.

Passo 4

Pra calcular a probabilidade do cara lucrar 200 reais, é só a gente calcular a probabilidade de saírem 3 laranjas.

Em cada disco a gente tem um total de 14 possibilidades (14 imagens), sendo 2 delas laranjas. Então a probabilidade de sair uma laranja em um dos discos é:

P L = 2 14

Mas a gente quer P ( L ∩ L ∩ L ) , 3 laranjas nos 3 discos, que será:

P L ∩ L ∩ L = 2 14 × 2 14 × 2 14 = 8 2744

Passo 5

Pra calcular a probabilidade do cara lucrar 150 reais, é só a gente calcular a probabilidade de saírem 3 Bananas.

Em cada disco a gente tem um total de 14 possibilidades (14 imagens), sendo 3 delas bananas. Então a probabilidade de sair uma banana em um dos discos é:

P B = 3 14

Mas a gente quer P ( B ∩ B ∩ B ) , 3 laranjas nos 3 discos, que será:

P B ∩ B ∩ B = 3 14 × 3 14 × 3 14 = 27 2744

Passo 6

Fazendo o mesmo racicínio para as maçãs e os morangos a gente tem que:

A probabilidade de se lucrar 100 reais, que é a probabilidade de sair 3 maçãs é:

P M a ∩ M a ∩ M a = 4 14 × 4 14 × 4 14 = 64 2744

E a probabilidade de lucrar 50 reais será:

P M o ∩ M o ∩ M o = 5 14 × 5 14 × 5 14 = 125 2744