Teoria Completa
Introdução
Vamos começar com um exemplo? Vem comigo!
Vamos considerar um vendedor de livros, supondo que em média ele lucre por venda. Qual seria, em média, o lucro dele com a venda de 100 livros?
Bom, vamos dar nome aos bois.
Logo:
O problema nos pede o lucro médio na venda de 100 livros, ou seja:
Já sabemos que , lucro médio por livro.
Logicamente, se o lucro com a venda de 1 livro é igual a , então com a venda de 100 livros teríamos:
Esse exemplo foi bem tranquilo, mas mostra claramente a utilização direta de algumas propriedades que veremos agora.
Propriedades Importantes
Esperança e variância de uma constante
Se é uma constante,
Linearidade da esperança
Seja uma v.a., e , com e quaisquer reais. Então:
Variância de
Sendo e reais,
Desvio padrão de
Sendo e reais,
Mas claro que você também pode, ao invés disso, calcular a variância e tirar a raíz quadrada dela.
Acredita em mim, você vai precisar dessas regrinhas na sua prova. Vamos praticar pra fixar melhor isso aí num exemplo:
“Uma variável é descrita pela função . Sabendo que E , calcule a esperança, a variância e o desvio padrão de .”
Passo 1) “Aplicamos” esperança dos dois lados da equação. Finge que é uma operação matemática e só vai:
Agora lembrando das propriedades que vimos, isso aí simplificado fica:
Como ...
Passo 2) “Aplicamos” variância dos dois lados da equação da mesma forma:
Que usando as propriedades fica...
E como ...
O desvio padrão é então:
Exercício Resolvido #1
O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade
a) Calcule o tempo médio de processamento.
Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $2,00, mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha $0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de $1,00.
b) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia de $ ganha por peça.
Passo 1
a) Tempo médio de processamento
Quando ele fala de tempo médio Está falando da média!
Passo 2
b) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia de $ ganha por peça.
Vamos analisar quem é a v.a. G
O quanto cada operário ganha é:
Ou seja, são $2,00 fixos + $0,50 por minuto poupado.
Passo 3
Vamos substituir os t possíveis nesta equação para saber os valores possíveis de G:
-
-
-
-
-
Passo 4
Montando uma tabela de distribuição de G:
Passo 5
Calculando o que se pede:
Resposta
a) 4,6
b)E(G)=2,75 e Var(G)=0,4125
Exercício Resolvido #2
c) Seja “” uma v.a. discreta com e é o desvio padrão de . Se , quem é e .
Passo 1
A gente sabe o que?
Beleza, e a gente quer calcular esses valores para a v.a. .
Pra isso a gente vai precisar só usar as propriedades da esperança e do desvio padrão. Lembra?
Passo 2
Usamos a propriedade a multiplicação de uma constante e da esperança de uma constante.
Passo 3
A mesma coisa pro desvio padrão:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Uma transportadora de cargas possui quatro caminhões de aluguel. O aluguel é realizado por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados por dia é dada por:
Sabendo que o aluguel por dia é da ordem de e que a despesa total diária com a manutenção de cada veículo é igual a quando este é alugado e de , quando tal fato não ocorre, encontre:
- O número médio diário de caminhões alugados e o desvio padrão.
- A média e o desvio padrão do lucro diário
Passo 1
(a)
Se a gente chamar de a v.a. que representa o número de caminhões alugados por dia. A gente já tem a tabela com os valores possíveis para (0,1,2,3,4) e suas respectivas probabilidades.
Pra calcular o número médio de caminhões alugados é só calcular:
Passo 2
Pra calcular a variância usamos a fórmula:
Aí agora podemos calcular o desvio padrão que é a raiz quadrada da variância:
Passo 3
(b)
Bom, nós sabemos que a definição de lucro é:
Nosso faturamento vai ser o aluguel das caminhonetes. Como o aluguel de cada uma custa :
Onde continua representando o número de caminhonetes alugadas por dia.
E nossas despesas totais? O enunciado diz que cada caminhonete alugada traz de despesas, ou seja:
E quando uma caminhonete não é alugada, a despesa que ela traz é de . Mas quantas caminhonetes não vão ser alugadas? O total de caminhonetes menos a quantidade que for alugada, certo? Ou seja, ). Então temos que:
E as despesas totais serão a soma dessas duas aí:
Passo 4
Nossa equação do lucro, substituindo tudo que achamos, fica assim então:
Show! Agora podemos calcular o que foi pedido. Para a média do lucro, podemos “aplicar” a esperança dos dois lados da equação:
Fazendo a distribuiva...
A constante que está multiplicando o pode sair dos parênteses multiplicando a esperança, e a esperança de uma constante vale a própria constante, então...
Mas já vimos na letra a) que , substituindo:
Essa aí então é a média do nosso lucro diário.
Passo 5
Para o desvio padrão, vamos seguir o mesmo raciocínio. Tirando a variância dos dois lados da equação do lucro:
Distributiva...
A constante multiplicando o sai da variância ao quadrado, e a variância de uma constante é igual a zero, então...
Mas lá na letra a) vimos que a variância de é . Substituindo:
Mas nós queremos o desvio padrão do lucro diário, então tira a raiz disso aí:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Prove as expressões abaixo:
Passo 1
1ª coisa: NÃO PIRA! Vamos com calma ok?
Vamos lembrar o que cada coisa é, ou seja, o que é média e variância ok?
Então jogando nessa fórmula teremos:
Mas você concorda que:
Ou não?
Se não concorda, pensa comigo aqui rapidinho... Imagina um dado ok? Temos alguns possíveis resultados de X certo? Eles são...
E temos que
Sim?
Agora imagina que usamos esse dado em um jogo de tabuleiro, onde temos uma regra que diz:
“O número de casas que o jogador deve avançar é o dobro do número obtido ao jogar os dados mais três casas.”
Opa! E aí? O que ele quis dizer?
Entãão se jogarmos o dado e tiramos:
Nº do dado(X)
Nº de casas(Y)
1
2.1+3
5
2
2.2+3
7
3
2.3+3
9
4
2.4+3
11
5
2.5+3
13
6
2.6+3
15
Então temos novamente seis possibilidades? Podemos andar 5,7,9,11,13 ou 15 casas certo? Então percebe que podemos dizer que a probabilidade de:
E podemos dizer isso para todos? ((:
Então vamos continuar naquela expressão... Onde estávamos mesmo?
Epa! Olha só:
Então
Passo 2
Vamos olhar a outra expressão agora? Mas primeiro vamos relembrar a expressão de variância
Substituindo teremos
Desenvolvendo (produto notável!!!) & substituindo ...
Olhando para simbora desenvolver? Vamos usar a mesma lógica da primeira expressão que deduzimos (:
Substituindo (iii) em (ii)
Cancelando
Resposta
Exercício Resolvido #5
Uma máquina do tipo caça-níqueis é composta por três discos que giram de forma independente, cada qual contendo as seguintes figuras: 2 laranjas, 3 bananas, 4 maçãs e 5 morangos. O apostador deve pagar 50 reais para jogar. Se sair 3 laranjas, ele ganha 250 reais; se sair 3 bananas, ganha 200 reais; se sair 3 maçãs, ganha 150 reais e se sair 3 morangos, ganha 100 reais; em qualquer outra situação ele perde. Pergunta-se: qual o lucro esperado de um jogador em uma jogada? E se o jogador fizer dez jogadas?
Passo 1
Tá, primeiro a gente tem que avaliar quais são as possibilidades de lucro que a gente tem.
E depois a gente calcula a probabilidade de cada uma acontecer, pra gente conhecer o lucro esperado.
Passo 2
Quais são os possíveis lucros ?
A gente sabe que independente do que sair, ele paga 50 reais.
Bom, quando sair 3 laranjas, ele recebe 250 reais, tendo um lucro de 200 reais. Concorda?
Pensando da mesma forma:
Qualquer outro resultado que saia ele tem um prejuízo de 50 reais. Beleza?
Passo 3
Organizando numa tabela pra ficar mais fácil:
Agora vamos calcular a probabilidade de cada um desses lucros.
Passo 4
Pra calcular a probabilidade do cara lucrar 200 reais, é só a gente calcular a probabilidade de saírem 3 laranjas.
Em cada disco a gente tem um total de 14 possibilidades (14 imagens), sendo 2 delas laranjas. Então a probabilidade de sair uma laranja em um dos discos é:
Mas a gente quer , 3 laranjas nos 3 discos, que será:
Passo 5
Pra calcular a probabilidade do cara lucrar 150 reais, é só a gente calcular a probabilidade de saírem 3 Bananas.
Em cada disco a gente tem um total de 14 possibilidades (14 imagens), sendo 3 delas bananas. Então a probabilidade de sair uma banana em um dos discos é:
Mas a gente quer , 3 laranjas nos 3 discos, que será:
Passo 6
Fazendo o mesmo racicínio para as maçãs e os morangos a gente tem que:
A probabilidade de se lucrar 100 reais, que é a probabilidade de sair 3 maçãs é:
E a probabilidade de lucrar 50 reais será:
Passo 7
Falta só calcular a probabilidade de qualquer outro resultado sair, fazendo o cara ter prejuízo de 50 reais.
Pensa comigo!