Exercícios Resolvidos de Projeto de controlador cascata

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Enunciado

Após a introdução de um degrau unitário no elemento final de controle numa malha em cascata, os gráficos de curva de reação para a variável primária e secundária foram registrados e estão mostrados abaixo, respectivamente:

Faça a sintonização dos controladores em casacada. Utilize as correlações de Ziegler-Nichols para o controlador secundário e de Austin e Lopez para o controlador primário. Suponha que o controlador secundário seja do tipo PI e o primário é do tipo PID.

Passo 1

Devemos sempre começar pelo controlador mais a dentro na malha, nesse caso, o controlador secundário. Vamos primeiro estimar os parâmetros da FOPDT dessa malha usando o esboço abaixo:

Com esse esboço, podemos estimar nossas constantes como:

K 2 = 1,6

θ 2 = 0,4

τ 2 = 1 , 4 - 0 , 4 = 1,0

Se você não lembra como estimar uma função FOPDT seria legal dar uma revisada na aula de Zigler-Nichols.

Com esse valores, podemos sintonizar o controlador secundário usando a tabela de Ziegler-Nichols:

Como queremos um controlador PI:

K C 2 = τ 2 K 2 θ 2 = 0,9 1,0 1,6 * 0 , 4 = 1,56

τ i 2 = θ 2 0,3 = 0,4 0,3 = 1,33

Sendo assim, o controlador interno (secundário) terá função de transferência:

G C 2 s = 1,56 1 + 1 1,33 s

Passo 2

Vamos aplicar o mesmo procedimento agora para estimar a função FOPDT para a malha primária:

Com esse esboço, podemos estimar nossas constantes como:

K 1 = 1,0

θ 1 = 0,6

τ 1 = 2,5 - 0,6 = 1,9

Agora, podemos sintonizar o controlador primário consultando a tabela abaixo:

Nesse exercício o controlador secundário é PI e o primário é PID, então usamos as correlaçãoes que estão no canto inferior direito da tabela.

Porém, antes de sintonizar, precisamos conferir se os parâmetros que encontramos estão na faixa adequada:

τ 2 τ 1 = 1,0 1,9 = 0 , 53

θ 2 θ 1 = 0 , 4 0 , 6 = 0,6 7

Maravilha! Tudo certo.

Passo 3

Vamos aplicar as correlações da tabela para finalmente conseguir sintonizar o controlador:

K C 1 = τ 1 5,2416 K 1 θ 1 τ 2 τ 1 - 1,1312 θ 2 θ 1 - 0,0966 = 1,9 5,2416 * 0,6 1,0 1,9 - 1,1312 0,4 0,6 - 0,0966

K C 1 = 1,29

τ i 1 = 1,1581 τ 1 τ 2 τ 1 - 0,0398 θ 2 θ 1 - 0,1538 = 1,1581 * 1,9 1,0 1,9 - 0,0398 0,4 0,6 - 0,1538 = 2,40

τ d 1 = 0,6722 θ 1 τ 2 τ 1 - 0,905 θ 2 θ 1 - 0,2750 = 0,6722 * 0,6 1,0 1,9 - 0,905 0,4 0,6 - 0,2750 = 0,80

O nosso PI primário ficará portanto

G C 1 s = 1,29 1 + 1 2 , 40 s + 0,80 s

Resposta

G C 2 s = 1,56 1 + 1 1,33 s

G C 1 s = 1,29 1 + 1 2,40 s + 0,80 s