Trabalho de expansão de um gás

Teoria Completa

Já sabemos que o trabalho é a energia necessária para deslocar um corpo contra uma força, não é?

Como vimos no capítulo anterior, um gás que se expande dentro de um cilindro e levanta o pistão do cilindro realiza trabalho para isso. Mas existem outros tipos de trabalho, como uma reação química que provoca um fluxo de corrente elétrica pra se mover ou até mesmo nosso corpo, quando nos movemos.

Aqui, vamos nos interessar em dividir o trabalho em dois tipos:

  • Trabalho de expansão: ocorre quando há uma variação no volume do sistema.
  • Trabalho de não-expansão: não há uma variação no volume do sistema.

Como a gente quantifica o trabalho de expansão?

Vamos voltar ao exemplo do gás dentro de um cilindro, com um pistão em cima dele. O trabalho que esse gás realiza para fazer o pistão subir depende da pressão externa (já que ela está relacionada à força que segura o pistão)...

A fórmula mais batida de trabalho é T r a b a l h o = f o r ç a   x   d e s l o c a m e n t o , não é?

Nesse caso, com a pressão externa constante, podemos escrever que

T r a b a l h o = P e x t   .   A ⏟ f o r ç a   a p l i c a d a   d o   l a d o   d e   f o r a   d o   p i s t ã o   x   d ⏟ v a r i a ç ã o   d e   a l t u r a   q u a n d o   o   g á s   e m p u r r a   o p i s t ã o  

Como o volume ( Δ V ) de um cilindro é d × A , chegamos então na fórmula

w = P e x t . Δ V

MAAAAS, muito importante: quando estamos fazendo uma expansão, quem está realizando o trabalho é o gás, então temos que prestar atenção no sinal!!!

Lembrando que o trabalho feito pelo sistema é 0, temos que separar em:

w e x p a n s ã o = - P e x t . Δ V

w c o m p r e s s ã o = P e x t . Δ V

Observação: se essa expansão for feita no vácuo, onde P e x t = 0 ,   w = 0 ! Ou seja, uma expansão/compressão no vácuo não realiza trabalho 😊 Essa expansão é chamada expansão livre!

Processo reversível x irreversível

Na termodinâmica, um processo reversível é um processo que pode ser revertido por uma mudança infinitesimal (infinitamente pequena) de uma variável!

Calma, vamos voltar ao nosso exemplo do pistão e do gás. Se a pressão externa = pressão do gás dentro do cilindro, o pistão fica parado, né?

Agora, imagina que uma mudança muito muito muito pequena de pressão do lado de fora faz com que o pistão desça um pouco ou que um aumento da pressão infinitamente pequeno do lado de dentro faça com que o pistão suba um pouco...

Nesse caso, o processo vai ser reversível, já que uma mudança muiiiito pequena do lado de fora ou de dentro do cilindro fez diferença no sistema!

Já para um processo irreversível, vamos pensar em uma situação onde a pressão externa é 2 atm antes da expansão e 1 atm depois da expansão. Nesse caso, uma mudança infinitesimal não vai comprimir o gás de volta... Por isso, a mudança infinitesimal não faz diferença!

Transformação isotérmica reversível de um gás

Pra ser bem sincera, a definição de processo reversível, por agora, só serve pra gente estudar a transformação isotérmica reversível de um gás!

Transformação isotérmica significa que a transformação é feita à temperatura constante!

Se a transformação for reversível, conseguimos derivar a equação do trabalho à P constante para chegar à relação:

w e x p a n s ã o   i s o t é r m i c a   r e v e r s í v e l = - n R T l n V f i n a l V i n i c i a l

Onde n é a quantidade de gás em mols no recipiente, e T é a temperatura (constante, ein!).

É importante também lembrar que, como é um trabalho de expansão, o trabalho é realizado pelo sistema, e, logo, é negativo.

Traçando um gráfico P x V, podemos calcular o trabalho pela área embaixo da curva (ou seja, a integral dessa função):

Observação: Se a pressão externa mudasse infinitesimalmente em algum momento da expansão, o pistão se moveria pra dentro, diminuindo o trabalho... Logo, o trabalho que o gás realiza durante uma expansão isotérmica reversível é o maior trabalho de expansão possível.

Unidades

Como essas fórmulas tem muita multiplicação de grandezas que nem sempre sabemos as unidades, como pressão x volume, é mais fácil trabalhar no SI! No SI...

p r e s s ã o = P a

  1   P a   ≅ 10 - 5 a t m   o u ,   1   a t m = 10 5 P a

v o l u m e = m 3

e n e r g i a = J

Resumindo...

Podemos realizar um trabalho de expansão à:

  • Pressão constante – processo isobárico
  • Calculamos o trabalho por aquela fórmula que vimos antes, seja ele reversível ou irreversível.

    w e x p a n s ã o = - P e x t . Δ V

  • Volume constante – processo isovolumétrico
  • Como o trabalho de expansão depende do volume (fórmula aqui em cima), se Δ V = 0 ,   w = 0 .

  • Temperatura constante – processo isotérmico

Se o processo for reversível, calculamos ele pela fórmula:

w e x p a n s ã o   i s o t é r m i c a   r e v e r s í v e l = - n R T l n V f i n a l V i n i c i a l

Ou, simplesmente, pela área embaixo do gráfico P x V:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Peter Atkins & Loretta Jones. Princípios da Química, 5ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2012, pp281-Exercício 7.23

Calcule o trabalho em cada um dos seguintes processos, começando com uma amostra de gás em um sistema com pistão com T = 305 K , P = 1,75   a t m e V = 4,25 L :

a) expansão irreversível contra a pressão externa constante de 1 atm, até o volume final 6,25   L ;

b) expansão reversível isotérmica até o volume final 6,25   L .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Em um processo à pressão constante, calculamos o trabalho de expansão através da fórmula:

w = - P e x t . Δ V

Usando os dados iniciais que temos,

w = - 1 a t m . 6,25 L - 4,25 L

w = - 2   a t m . L

Ou, se quisermos calcular direto em Joule, podemos trabalhar no SI:

1   a t m = 10 5 P a

1 L = 10 - 3 m 3

Daí:

w = - 10 5 P a . 6,25 - 4,25 . 10 - 3 m 3

w = - 200   J

Passo 2

b) Para uma expansão reversível isotérmica, devemos usar a fórmula:

w = - n R T l n V f i n a l V i n i c i a l

Para começar, precisamos calcular o número de mols de gás dentro do sistema!

Como temos a temperatura, a pressão e o volume, podemos usar a lei dos gases ideais para calcular o número de mols:

p V = n R T

1,75   a t m   ∙   4,25 L = n   ∙   0,082 a t m . l m o l . K   ∙   305 K

n ≅ 0,3   m o l

Agora, só precisamos aplicar na fórmula:

w = - 0,3 m o l ∙   8,31 J m o l . K   ∙   305 K ∙ ln ⁡ 6,25   L 4,25   L

w ≅ -   293,24   J

Resposta

a )   - 200   J

b )   - 293,24   J

Exercício Resolvido #2

Peter Atkins & Loretta Jones. Princípios da Química, 5ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2012, pp249-Exercício 7.5

Suponha que 1   m o l de moléculas de um gás ideal, 292 K e 3   a t m , se expanda de 8 L a 20 L e atinja a pressão final de 1,2   a t m por dois caminhos diferentes.

a) O caminho A é uma expansão isotérmica reversível.

b) O caminho B tem duas partes. Na etapa 1, o gás esfria em volume constante até que a pressão atinja 1,20   a t m . Na etapa 2, ele é aquecido e se expande contra uma pressão constante igual a 1,20   a t m até que o volume atinja 20 L e T = 292 K .

Determine o trabalho realizado para os dois caminhos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Pela fórmula da expansão isotérmica reversível,

w = - n R T l n V f i n a l V i n i c i a l

w = - 1   m o l ×   8,31 J m o l . K   ×   292   K   × ln ⁡ 20 L 8 L

w = - 2222,7   J

Passo 2

b) Na etapa 1:

Como o volume é constante, Δ V = 0 .

Já que o trabalho se calcula como w = - P . Δ V ,   w = 0

Na etapa 2:

Como a pressão é constante,

w = - P e x t . Δ V

1   a t m = 10 5 P a

w = - 1,2 ×   10 5 P a × 20 - 8 × 10 - 3 m 3

w = - 1440   J

Resposta

a) w = - 2222,7   J

b) w = - 1440   J

Exercício Resolvido #3

Peter Atkins & Loretta Jones. Princípios da Química, 5ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2012, pp350-Exercício Teste 7.6A

Suponha que 2 mols de C O 2 , tratado como um gás ideal, em 2 atm e 300K, são comprimidos isotérmica e reversivelmente até a metade do volume original, antes de serem usados para carbonatar a água. Calcule w.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se o gás é comprimido, o trabalho será positivo, já que ele é feito sobre o gás!

Para calcular o trabalho em um processo isotérmico e reversível, devemos usar a equação:

w = - n R T l n V f i n a l V i n i c i a l

Logo..

2   a t m = 2 × 10 5 P a

V i n i c i a l = 2 V f i n a l

w = - 2   m o l s   ×   8,31 J m o l .   K   ×   300 K   × ln ⁡ V f i n a l 2 V f i n a l

w = 2 × 8,31 × 300 × ln ⁡ 2

w = 3456 J

Resposta

w = 3456 J