Exercícios Resolvidos de Resolução e Dispersão de uma Rede de Difração

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Enunciado

Considere agora que a rede de difração do item anterior tem comprimento total de 3,0 cm e recebe uma luz de comprimento de onda λ = 500 nm.

(c ) Calcule a dispersão que esta rede pode resolver em segunda ordem.

(d ) Encontre a menor diferença de comprimentos de onda que essa rede pode resolver em ordem 2.

Passo 1

Nesse item ele quer que determinemos a dispersão dessa rede em segunda ordem, para isso precisamos lembrar de todas as formas que podemos determinar a dispersão e escolher aquele que atende com mais facilidade o nosso problema.

Sabemos que a nossa dispersão pode ser escrita das seguintes maneiras.

D = ∆ θ ∆ λ = m d . C o s θ = T g θ λ

Agora vamos analisar a nossa tão conhecida fórmula de interferência para máximos e definir qual das fórmulas acima melhor resolve o nosso problema.

Sabemos que a fórmula é

d . S e n θ = m . λ

Em que de todos esses termos só não temos acesso ao valor do ângulo, então vamos determinar esse valor, lembrando que o que já temos são

d = 2,89.10 - 6 m

m = 2

λ = 500 n m = 500.10 - 9 m

substituindo teremos

2,89.10 - 6 . S e n θ = 2 . 500.10 - 9

S e n θ = 0,346

θ = 20,244 °

Sabendo disso podemos usar a ultima ou a segunda fórmula como solução, vamos usar ambas apenas para mostrar que dará a mesma reposta

m d . C o s θ = 2 2,89.10 - 6 . C o s 20,244 ° = 0,738.10 6 r a d m = 0,738 r a d μ m

T g θ λ = T g 20,244 500.10 - 9 = 0,738 r a d m = 0,738 r a d μ m

Passo 2

Por fim ele pede a menor diferença entre os comprimentos de onda para que a rede possa se resolver em uma ordem 2.

Esse poder de resolução que damos a rede é chamado de poder de resolução cromático que é dado pela seguinte fórmula

R = λ m é d ∆ λ = N . m

Em que λ é a média dos dois comprimentos de onda que desejamos separar, N é o numero de fendas da rede de difração e m a ordem das linhas espectrais.

Então vamos lá, primeiro definiremos o nosso valor de N

Pense só, temos uma rede de difração de comprimento 3cm que possui uma quantidade de 346ranhuras/mm, sabendo disso podemos definir nossa quantidade de fendas na rede por

N = c o m p r i m e n t o   d a   r e d e . n u m e r o   d e   r a n h u r a s   p o r   c o m p r i m e n t o

N = 3.10 m m . 346 r a n h u r a s m m = 10380   r a n h u r a s

Sabemos que a nossa ordem é 2, logo

m = 2  

E sabemos que o nosso

λ m é d = 500.10 - 9 m

Como o objetivo do exercício é exatamente que definamos a variação mínima de comprimento de onda, basta substituir, dessa forma chegamos a seguinte relação

500.10 - 9 ∆ λ = 10380.2

∆ λ = 2,41.10 - 11 = 0,0241 n m

Resposta

c) D = 0,738 r a d μ m

d) ∆ λ = 0,0241 n m

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