Exercícios Resolvidos de Resolução e Dispersão de uma Rede de Difração

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Enunciado

A luz de uma lâmpada com comprimento de onda de 550 nm, incide perpendicularmente em uma rede de difração com 50000 ranhuras por 10 cm de largura.

(a ) Determine a Dispersão (D) da rede em segunda ordem e obtenha a resolução dessa rede em quarta ordem.

(b ) Calcule a meia largura do máximo principal central formado por essa rede.

Passo 1

No primeiro item nos é pedido para determinar a dispersão que ocorre nessa rede, para isso é valida relembrar que a fórmula da dispersão é dado por.

D = ∆ θ ∆ λ = m d . c o s θ

Sabendo disso, vamos descobrir cada termo do nosso problema e no fim chegar o valor que necessitamos.

Primeiro sabemos que o termo mais fácil de determinar é o m , pois no enunciado nos foi dito que a ordem que queremos determinar a dispersão é a segundo, logo m = 2

Passo 2

Agora vamos tentar de terminar o valor de d

Sabemos que d é a distancia entre cada fenda, sabemos que existem 50000 ranhuras em um espaço de 10 cm, ou seja, se dividirmos os 10 cm pelas 50000 ranhuras encontraremos exatamente a distancia mínima entre cada ranhura, já que queremos que elas caibam todas nos 10cm. Fazendo isso teremos

d = ∆ x N = 10.10 - 2 m 50000 = 2.10 - 6 m

Passo 3

Agora precisamos determinar o valor do ângulo θ , não fazemos ideia de como calcular o cosseno, mas temos uma ideia de como calcular o seno, você sabe do que estou falando?

Exatamente da fórmula de interferência para fendas, lembra da fórmula?

d . S e n θ = m . λ

Mas porque usar essa fórmula?

Porque com ela determinaremos o ângulo que falta para medirmos a dispersão.

Mas você lembra quanto que cada valor vale?

m = 2

d = 2.10 - 6 m

λ = 550 n m = 550.10 - 9 m

substituindo teremos

2.10 - 6 . S e n θ = 2 . 550.10 - 9

S e n θ = 2 . 550.10 - 9 2.10 - 6

S e n θ = 0,55

θ = a r c   s e n 0,55 = 33,37 °

Passo 4

Agora que encontramos todos os valores que faltavam para encontrar a dispersão basta fazer a substituição.

m = 2

d = 2.10 - 6 m

θ = 33,37 °

D = 2 2.10 - 6 . c o s 33,37 ° = 1,197 r a d / μ m

Passo 5

Ainda nos é pedido nesse item para definirmos o valor da resolução dessa rede, que a fórmula é bem fácil

R = m . N

Em que m é a ordem e N o numero de ranhuras, só tome cuidado pois para a resolução foi pedida a quarta ordem, então vamos fazer o cálculo.

R = 4 x 50000 = 200000

Passo 6

Agora nesse item nos é pedido o valor da meia largura do máximo principal central, que é dado pela fórmula

∆ θ c = λ N . d

E pelo item anterior podemos calcular o valor da meia largura do máximo principal central.

Os valores serão

d = 2.10 - 6 m

λ = 550 n m = 550.10 - 9 m

N = 50000

Substituindo

∆ θ c = 550.10 - 9 50000 . 2.10 - 6 = 5,5.10 - 6 r a d

Resposta

a) D = 1,197 r a d / μ m

R = 200000 .

b) ∆ θ c = 5,5.10 - 6 r a d

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