Exercícios Resolvidos de Resolução e Dispersão de uma Rede de Difração

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Enunciado

A linha D do espectro de Sódio é um dubleto (duas linhas próximas) com comprimentos de onda 𝜆1 = 589 𝑛𝑚 e 𝜆2 = 589,6 𝑛𝑚. Uma rede de difração permite observar esse dubleto no limite da resolução. Mais ainda, a terceira ordem (𝑚 = 3) possui um ângulo de 10° com a normal à tela de observação. Determine:

(a) o espaçamento entre as ranhuras.

(b) o número 𝑁 de ranhuras da rede.

Passo 1

Como sabemos que o comportamento entre todas as fendas é a mesma, vamos analisar apenas duas fendas consecutivas e descobrir o seu comportamento

Vamos entender visualmente o que o enunciado está falando

Observamos que no ponto A está ocorrendo uma interferência entre os raios, e no desenho conseguimos compreender cada um dos dados do problema. No nosso exercício onde λ está ligado ao comprimento de onda dos raios, da distancia entre as fendas e L a distancia até o anteparo.

Mas o que o exercício quer?

Ele quer que determinemos a distância angular entre as franjas 1 e 2, ou seja, qual a diferença entre os ângulos dos máximos quando temos m=2.

Passo 2

Sabemos que um máximo de interferência ocorre quando podemos usar a fórmula

d .   S e n θ = m   .   λ

Sabemos pelo enunciado que para a ordem de m=3 temos θ = 10 ° .

Ainda falta definirmos quanto vale o comprimento de onda para substituirmos na equação.

Por critério de aproximação faremos que o comprimento de onda adotado para essa ordem seja a média dos comprimentos de ondas incidentes, logo teremos que

λ = λ 1 + λ 2 2

λ = 589 + 589,6 2 = 589,3   n m = 589,3 x 10 - 9 m

Agora que já temos todos os valores, basta substituirmos na equação e isolarmos o valor de d, pois assim conseguiremos determinar a distância entre as ranhuras.

d .   S e n θ = m   .   λ

d = m   .   λ   S e n θ = 3 x 589,3 x 10 - 9 S e n 10 ° = 1,02 x 10 - 5 m

d = 10,2 x 10 - 6 m

Passo 3

Sabemos que a fórmula do poder de resolução é dado por

R = λ m é d ∆ λ = m . N

Em que N é exatamente o número de Ranhuras da rede que é o objetivo do nosso item B.

Se isolarmos o valor de N na nossa equação teremos que

N = λ m é d m . ∆ λ

Em que os valores são

λ m é d = 589,3 n m

m = 3

∆ λ = 589,6 n m - 589 n m = 0,6 n m

Substituindo na nossa equação teremos que

N = 589,3 3.0,6 = 327,4 ≅ 327   r a n h u r a s

Passo 4

Resposta

a) d = 10,2 x 10 - 6 m

b) N ≅ 327   r a n h u r a s

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