Exercícios Resolvidos de Resolução e Dispersão de uma Rede de Difração

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Enunciado

a) Em um experimento de fenda dupla, a abertura de cada fenda vale 1,0   μ m e distância entre as fendas é 2,5   μ m . Incide-se luz de comprimento e onda de 400   n m perpendicularmente ao plano das fendas. Faça um gráfico da intensidade da luz em função de s e n   θ , sendo θ o ângulo de chegada dos raios no anteparo, em relação ao eixo central, incluindo ao menos as envoltórias até os segundos mínimos de difração. Dentro da envoltória central de difração, ache o valor das intensidades máximas dos picos de interferência, relativos àquela para θ = 0 .

b) Uma rede de difração tem o espaçamento entre fendas igual a 4,0   μ m . Ache a dispersão da rede em máximos de 1ª ordem e assim encontre a abertura angular entre comprimentos de onda incidentes de 600   n m e 603   n m . Para, nessas condições, ser capaz de resolver esses comprimentos de onda, qual deve ser o número mínimo de fendas da rede?

Passo 1

Eai galerinha, prontos para resolver uma questão de física 4?

No item (a) desse problema vamos discutir o problema da difração por uma dupla fenda. Para isso, temos que lembrar que a intensidade é dada por

I = I 0   s e n   β 2 β 2 2 cos 2 ⁡ ϕ 2 ,                   ϕ = 2 π λ d   s e n   θ ,             β = 2 π λ a   s e n   θ

O termo com o ângulo β é responsável pela envoltória enquanto o termo com ϕ é responsável pelos máximos e mínimos de interferência.

O primeiro passo é achar os mínimos da envoltória. Para isso, queremos achar os valores de β tais que

s e n   β 2 β 2 = 0

Observe que β = 0 não é um desses valores pois tomando o limite a expressão acima dá 1 , não 0 . Para β ≠ 0 devemos ter

s e n   β 2 = 0 → β 2 = n π ,         n ≠ 0

Substituindo a expressão de β :

π λ a   s e n   θ = n π → s e n   θ = n λ a

A seguir eu faço um plot dessa envoltória com os mínimos em função de s e n   θ :

Observe que a envoltória central tem amplitude bem maior que as demais. É por isso que apenas a região central é visível nesse tipo de experimento. Os pontos em que a curva se anula são

s e n   θ = ± λ a ,   ± 2 λ a ,   ± 3 λ a ,   …

Passo 2

Dentro dessa envoltória o segundo termo vai oscilar. Para achar os máximos dessa oscilação, temos que resolver a equação:

cos 2 ⁡ ϕ 2 = 1 → cos ⁡ ϕ 2 = ± 1

Logo, usando a expressão para ϕ apresentada no passo 1:

ϕ 2 = n π → π λ d   s e n   θ = n π

Portanto, os máximos de interferência ocorrem para

s e n   θ = n λ d

Vamos ver quantos máximos desse tipo ocorrem na envoltória central. Para isso, queremos que

- λ a < n λ d < λ a

Simplificando λ e multiplicando por d :

- d a < n < d a

Como d = 2,5   μ m e a = 1   μ m , temos que

- 2,5 < n < 2,5

Com isso, os máximos acontecem para n = - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 . Desta forma, vemos que dentro da envoltória central temos 5 máximos de interferência. A seguir faço o esboço da curva de intensidade:

Os máximos de interferência na envoltória central estão marcados em vermelho.

Passo 3

Para terminar o item (a), temos que achar as intensidades os máximos de interferência dentro da envoltória central. Para todos esses máximos, temos que

cos 2 ⁡ ϕ 2 = 1

Com isso,

I = I 0 s e n   β 2 β 2 2 = I 0 s e n   π λ a   s e n   θ π λ a   s e n   θ 2

Mas sabemos também que esses máximos acontecem para

s e n   θ = n λ d

Substituindo na expressão para a intensidade:

I I 0 = s e n   n π a d n π a d 2

Usando os valores de a e d :

a d = 1 2,5 = 2 5

Portanto,

I I 0 = 25 4 π 2 n 2   s e n 2 2 5 n π

Sabemos que para n = 0 o limite dá

I I 0 → 1

Isso significa que I 0 é a intensidade máxima. Vamos achar as intensidades relativas dos demais máximos com n = ± 1 e n = ± 2 . No primeiro caso:

n = ± 1 → I I 0 = 25 4 π 2 s e n 2 2 π 5 = 0,573

Já no segundo:

n = ± 2 → I I 0 = 25 16 π 2 s e n 2 4 π 5 = 0,0547

Vemos que a intensidade dos máximos de segunda ordem é bem menor que as intensidades dos máximos central e de primeira ordem.

Passo 4

Agora que finalizamos o item (a) podemos partir para o item (b)!

Nesse item vamos brincar com uma rede de difração. Primeiro queremos achar a dispersão para máximos de primeira ordem. A dispersão é definida por

D = Δ θ Δ λ = m d cos ⁡ θ

Para ângulos pequenos, temos cos ⁡ θ ≈ 1 , de modo que

D = m d

Usando m = 1 (1ª ordem) e d = 4   μ m :

D = 1 4 ⋅ 10 - 6   m = 2,5 ⋅ 10 5   m - 1

Para achar a abertura angular entre os comprimentos de onda λ 1 = 600   n m e λ 2 = 603   n m vamos usar

Δ θ Δ λ = D → Δ θ = D   Δ λ

Como Δ λ = 603 - 600 = 3   n m , temos que

Δ θ = 2,5 ⋅ 10 5 ⋅ 3 ⋅ 10 - 9 = 7,5 ⋅ 10 - 4

Passo 5

Para fechar o problema, temos que encontrar o número mínimo de fendas N para conseguir distinguir as franjas de dois comprimentos de onda diferentes com Δ λ = 3   n m . Para isso, usamos o critério de Rayleigh que encontra a seguinte expressão:

λ Δ λ = m N

Essa expressão foi dada no enunciado. Como m = 1 e λ = 600   n m :

1 ⋅ N = 600 3 → N = 200

Portanto, são necessárias 200 fendas para conseguir resolver esses dois comprimentos de onda! E assim terminamos o problema 😉!

Resposta

n = ± 1 → I I 0 = 0,573                         n = ± 2 → I I 0 = 0 , 0547

D = 2,5 ⋅ 10 5   m - 1                 e             Δ θ = 7,5 ⋅ 10 - 4

N = 200

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