Exercícios Resolvidos de Resolução e Dispersão de uma Rede de Difração

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 144-95

Uma rede de difração tem uma resolução R = λ m é d / Δ λ = N m .

  1. Mostre que a diferença de frequências que se encontra no limite da resolução, Δ f , é dada por Δ f = c / N m λ .
  2. Para a Fig. 36-22, mostre que a diferença entre os tempos de percurso do raio de baixo e do raio de cima é dada por Δ t = N d / c sen θ   .
  3. Mostre que Δ f Δ t = 1 e, portanto, esse produto não depende dos parâmetros da rede. Suponha que N 1 .

Passo 1

Letra a)

Para transformar de comprimento de onda em frequência, nós usamos a velocidade da luz:

λ 1 f 1 = c

λ 2 f 2 = c

Assim:

Δ λ = λ 2 - λ 1 = c f 2 - c f 1 = c f 1 - f 2 f 1 f 2 = c f 1 f 2 Δ f = λ 1 λ 2 c Δ f

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo o valor nas fórmulas de resolução:

λ m é d Δ λ = N m

Δ λ = λ m é d N m = c f 1 f 2 Δ f

λ m é d c N m λ 2 λ 1 = Δ f

Considerando que λ 2 = λ 1 + Δ λ , podemos escrever:

λ m é d = λ 2 + λ 1 2 = λ 1 + Δ λ 2

λ 1 λ 2 = λ 1 2 + λ 1 Δ λ

Considerando que Δ λ é muito pequeno, podemos desprezá-lo nas equações e fazer:

λ 1 c N m λ 1 2 Δ f

Δ f c N m λ 1 c N m λ m é d

De uma forma mais exata, poderíamos usar direto a fórmula do λ m é d e fazer:

Δ f = c 2 N m λ 2 + λ 1 λ 1 λ 2 = c 2 N m 1 λ 1 + 1 λ 2

Que recai na anterior se aproximarmos:

1 λ 1 1 λ 2 1 λ m é d

Passo 3

Letra b)

Pela figura dada, podemos ver que a diferença de percurso entre os raios do topo e de baixo é:

l = N d sen θ

Quando temos N fendas, a distância entre a superior e a de baixo é N - 1 d mas, quando N é muito grande, podemos aproximar por N d .

Seja l 1 o percurso de cima e l 2 o percurso de baixo. Com a velocidade da luz sendo c , os tempos são dados por:

t 1 = l 1 c

t 2 = l 2 c = l 1 + l c = t 1 + N d sen θ c

Δ t = N d c sen θ

Passo 4

-

Letra c)

Multiplicando os dois:

Δ f Δ t = c N m λ m é d N d c sen θ = d sen θ m   λ m é d

Como estamos olhando a resolução das franjas de interferência, nesse caso temos, para ambos λ 1 e λ 2 que vale a condição de máximo:

m λ = d sen θ

Usando a nossa aproximação de Δ λ desprezível, podemos dizer que:

m   λ m é d = d sen θ

Que também nos faz dizer que θ 1 θ 2 θ .

Temos finalmente:

Δ f Δ t 1

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