Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão

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Enunciado

Uma empresa deseja estudar a influência da propaganda sobre a venda de seus produtos. Para isso, obteve os seguintes dados relativos a 5 produtos seus:

X 10 20 30 40 50

Y 10 10 20 20 40

onde X é o investimento em propaganda (em milhares de reais) e Y é o valor da venda do produto (em milhões de reais). Pede-se:

  1. Correlação entre X e Y ; um gráfico de dispersão de X e Y ;
  2. Valores estimados (por mínimos quadrados) dos parâmetros da reta Y = a + b X ;
  3. Valor estimado da venda quando a propaganda é 35 mil reais. Forneça uma interpretação do coeficiente b no contexto deste problema.

Passo 1

(a)

Pra calcular o coeficiente de correlação vamos usar as fórmulas:

r x y = s x y s x . s y

s x y = ∑ i = 1 n x i . y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n n - 1

s x 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

Muitas fórmulas, né? Pra todas elas a gente precisa calcular essas paradas aqui embaixo.

Mas, olha só, não se esqueça que X está em milhares e Y está em milhões.

∑ x i = 150

∑ y i = 100

∑ x i 2 = 5.500

∑ y i 2 = 2.600

∑ x i . y i = 3.700

Passo 2

Cara, é ficar fazendo conta:

s x y = 3.700 - 150 × 100 5 4 = 175

x ¯ = 150 5 = 30

s x 2 = 5.500 - 5 × 30 2 4 = 250

y ¯ = 100 5 = 20

s y 2 = 2.600 - 5 × 20 2 4 = 150

Passo 3

Agora é só finalizar:

r x y = s x y s x . s y

r x y = 175 250 × 150

r x y = 0,9037

Pra fechar melhor ainda, o gráfico de dispersão:

Passo 4

(b)

Só aplicar fórmula, a gente tem a reta de regressão: y = a + b x .

b = s x y s x 2

b = 175 250 = 0,7

a = ∑ i = 1 n y i - b . ∑ i = 1 n x i n

a = 100 - 0,7 × 150 5 = - 1

Cuidado! Não deixe de observar aqui que a constante a está em milhões (igual a y ) e a constante b está em milhares (para que b x tenha dimensão de milhões também).

Passo 5

(c)

Se a gente tem que x = 35 (lembre que x está em milhares, isto é 35.000   reais), a gente joga o valor na fórmula da reta de regressão:

y = a + b x

y = - 1 + 0,7 × 35

y = 23,5   ( m i l h õ e s )

O coeficiente b é o coeficiente angular da reta, mede a variação da renda sobre a variação do investimento em propaganda, em milhões por milhares (isto é, milhares).

Resposta

a   r x y = 0,9037

b   b = 0,7   ,     a = - 1

c   23,5   m i l h õ e s

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