Exercícios Resolvidos de Reta Normal e Plano Tangente

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Enunciado

Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada por

ϕ u , v = u , v , 1 - u - v  

u ≥ 0

v ≥ 0

u + v ≤ 1

Passo 1

Vamos encontrar a equação da superfície não parametrizada, assim, devemos fazer as substituições:

x = u y = v z = 1 - u - v

Passo 2

Substituindo os valores de u , v na expressão do z a gente vai ter isso aqui

z = 1 - u - v → z = 1 - x - y

Passo 3

Temos que a imagem é um plano que é delimitado pelas desigualdades previstas no enunciado.

u ≥ 0

v ≥ 0

u + v ≤ 1

Que passando para as variáveis x , y e z ,   temos:

x ≥ 0

y ≥ 0

Agora a última desigualdade a gente pode fazer o seguinte

z = 1 - u - v → u + v = 1 - z

u + v ≤ 1 → 1 - z ≤ 1 ∴ z ≥ 0  

Passo 4

A imagem da superfície parametrizada será:

Resposta

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Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Desenhe a superfície e o plano tangente. r u , v = 1 - u 2 - v 2 i ⃑ - v j ⃑ - u k ⃑; ( - 1 , - 1 , - 1 )
Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados.d) r → u ,v = u ,v ,1 - u - v ; P 1 4 , 1 4 , 1 2
Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados.c) z = x y ; P 0 1 , 1 2 , 1 2 ;P 1 ( 0 , 2 ,0 )
Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados. r → u ,v = u 2 + v 2 - 1 ,u ,v ; P ( 4,1 , 2 )
Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a superfície