Exercícios Resolvidos de Reta Normal e Plano Tangente

Elaboração Própria

Encontre a equação da reta normal e do plano tangente ao cone z = x 2 + y 2 no ponto P 0 = ( 3,4 , 5 )

Passo 1

Essa questão aqui vai dar um pouco mais de trabalho porque vamos ter que encontrar a parametrização do cone, depois que fizermos isso, é só seguir os mesmos passos que estávamos fazendo: encontrar o vetor normal N , encontrar a reta normal e o plano tangente.

Vamos começar parametrizando a nossa superfície. Podemos fazer a parametrização explícita, para usar o macete, ou parametrizar de alguma outra forma, isso vai de cada pessoa. Nesse caso, a parametrização explícita já está pronta pra gente, vamos usá-la então:

φ x , y = x , y , x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos encontrar agora o nosso vetor normal, pelo macete, sabemos que:

N = - f x , - f y , 1

Vamos calcular então as derivadas de f ( x , y ) em relação a x e a y :

f x = 2 x 2 x 2 + y 2 = x x 2 + y 2  

f y = 2 y 2 x 2 + y 2 = y x 2 + y 2

N = - x x 2 + y 2   , - y x 2 + y 2 , 1  

Esse é o vetor normal para qualquer ponto, né? Queremos saber o valor desse vetor no ponto dado no enunciado P 0 = ( 3,4 , 5 ) , substituindo x = 3 e y = 4 nos termos da normal:

N = - 3 9 + 16 , - 4 9 + 16 , 1 = - 3 5 , - 4 5 , 1

Passo 3

Temos o vetor normal e o ponto P 0 , podemos agora achar a parametrização da reta normal! Para isso, vamos substituir os valores nessas fórmulas aqui:

N = a , b , c

P 0 = x 0 , y 0 , z 0

r t = x 0 + a t , y 0 + b t , z 0 + c t

No nosso exercício:

N = - 3 5 , - 4 5 , 1

P 0 = 3,4 , 5

r t = 3 - 3 t 5 , 4 - 4 t 5 , 5 + t

Passo 4

Para encontrarmos a equação do plano tangente, vamos precisar fazer o produto escalar entre o vetor normal N e aquele termo lá da teoria, lembra? Isso aqui:

N x - x o , y - y 0 , z - z 0 = 0

- 3 5 , - 4 5 , 1 x - 3 , y - 4 , z - 5 = 0

- 3 x 5 + 9 5 + - 4 y 5 + 16 5 + z - 5 = 0

- 3 x 5 - 4 y 5 + z = 0

Pronto! Encontramos a reta normal e o plano tangente!

Resposta

R e t a   N o r m a l   r t = 3 - 3 t 5 , 4 - 4 t 5 , 5 + t

P l a n o   - 3 x 5 - 4 y 5 + z = 0

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