Exercícios Resolvidos de Reta Normal e Plano Tangente

Elaboração Própria

Encontre a parametrização da reta normal e o plano tangente à superfície parametrizada por φ t , z = ( 2 cos t , 2 sen t , z ) no ponto em que t = π / 4 e z = 3

Passo 1

Parametrização da reta normal e plano tangente, quando lemos isso já tem que vir na nossa cabeça que precisamos encontrar o vetor normal N no ponto dado.

N = φ t × φ z

Nessa questão a nossa parametrização não é explicita, vamos precisar usar essa fórmula de cima mesmo. Além disso, não temos o ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , temos o valor dos parâmetros nesse ponto, certo? Não tem problema, só precisamos substituir t = π 4 e z = 3 na parametrização da superfície!

Então pronto, depois que acharmos N e P 0 conseguimos calcular a parametrização da reta normal e a equação do plano tangente! Vamos lá?

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Passo 2

Vamos começar pelo vetor normal, precisamos derivar a nossa parametrização da superfície em relação aos seus dois parâmetros. Fica assim:

φ t = - 2 sen t , 2 cos t ,   0

φ z = 0,0 , 1

Nosso vetor normal vai ser:

N = i j k - 2 sen t 2 cos t 0 0 0 1

= i j k - 2 sen t 2 cos t 0 0 0 1 i j - 2 sen t 2 cos t 0 0

= 2 cos t i - - 2 sen t j

Se não temos termo em k , quer dizer que a coordenada do vetor N no eixo z é igual a zero! Portanto:

N = ( 2 cos t , 2 sen t , 0 )

Esse é o vetor normal em qualquer ponto, né? Precisamos do valor dele no ponto em que

t = π 4

z = 3

Substituindo esses valores:

N = 2 2 2 , 2 2 2 , 0

N = ( 2 , 2 , 0 )

Passo 3

Precisamos encontrar o nosso ponto que o enunciado fala, ele diz que o ponto é definido por:

t = π 4

z = 3

Mas a nossa parametrização não é exatamente a descrição de todos os pontos da superfície? Então basta substituir os valores dos parâmetros na equação da parametrização:

φ t , z = 2 cos t , 2 sen t , z

P 0 = 2 cos π 4 , 2 sen π 4 , 3 = 2 2 2 , 2 2 2 , 3

P 0 = 2 , 2 , 3

Passo 4

Tendo o vetor normal N e o ponto P 0 podemos encontrar o valor da parametrização da reta normal da seguinte forma:

N = a , b , c

P 0 = x 0 , y 0 , z 0

x t = x 0 + a t

y t = y 0 + b t

z t = z 0 + c t

Substituindo nossos valores:

N = 2 , 2 , 0

P 0 = 2 , 2 , 3

x t = 2 + 2 t

y t = 2 + 2 t

z t = 3

r t = ( 2 + 2 t , 2 + 2 t , 3 )

Passo 5

E, para calcular a equação do plano, precisamos do seguinte produto escalar:

N x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

N = 2 , 2 , 0

P 0 = 2 , 2 , 3

2 , 2 , 0 x - 2 , y - 2 , z - 3 = 0

2 x - 2 + 2 y - 2 = 0

2 x + 2 y = 4

Simplificando, dividindo os dois lados por 2 :

x + y = 2 2

Resposta

R e t a   N o r m a l   r t = ( 2 + 2 t , 2 + 2 t , 3 )

P l a n o   x + y = 2 2

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