Exercícios Resolvidos de Reta Normal e Plano Tangente

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Enunciado

2) Seja S uma superfície parametrizada por r → u , v = v cos ⁡ u , v sen ⁡ u , 1 - v 2   0 ≤ u ≤ 2 π e v ≥ 0

  1. Identifique essa superfície
  2. Encontre uma equação da reta normal a S em r → 0,1
  3. Encontre uma equação do plano tangente a S em r → ( 0,1 )

Passo 1

Letra (a)

Essa parametrização olhando rápido parece bem bizarra, né? Mistura funções seno, cosseno e uma parábola ali. Mas vamos lá, vamos tentar entende-la.

Quando fazemos superfície de revolução em torno de algum eixo, é praticamente isso que fazemos! Um termo fica multiplicado por cos ⁡ u , outro por sen ⁡ u e outro por nada. No nosso enunciado, a rotação que existe é em torno do eixo z:

φ u , v = x v cos ⁡ u , x v sen ⁡ u , z v

Portanto, a curva que deu origem a essa superfície foi:

x v = v

z v = 1 - v 2

Uma parábola no plano x z ! Com isso, a superfície gerada pela sua rotação no eixo z é um paraboloide circular. Esse aqui mais precisamente:

Sua equação é

z = 1 - x 2 - y 2

Passo 2

Letra (b)

Para calcular a equação da reta normal à uma superfície, sabemos que precisamos do ponto P 0 que o exercício pede e o vetor normal nesse ponto. Vamos calcular cada um deles e depois descobrir a equação da reta.

Primeiramente, o ponto P 0 não foi dado diretamente, mas o enunciado pediu para encontrarmos a reta em r → ( 0,1 ) , certo? Precisamos então substituir u = 0 e v = 1 na parametrização dada, assim olha:

r → u , v = v cos ⁡ u , v sen ⁡ u , 1 - v 2

r → 0,1 = 1 cos ⁡ 0 , 1 sen ⁡ 0 , 1 - 1

r → 0,1 = P 0 = ( 1,0 , 0 )

Passo 3

Vamos ao cálculo do vetor normal agora. Sabemos que ele pode ser calculado pela seguinte fórmula

N → = ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ v

Precisamos calcular essas duas derivadas para depois fazer o produto vetorial:

∂ φ ∂ u = - v sen ⁡ u , v cos ⁡ u , 0

∂ φ ∂ v = ( cos ⁡ u , sen ⁡ u , - 2 v )

N → = i j k - v sen ⁡ u v cos ⁡ u 0 cos ⁡ u sen ⁡ u - 2 v =

N → = - 2 v 2 cos ⁡ u , - 2 v 2 sen ⁡ u , - v

Esse é o vetor normal para qualquer ponto na superfície, estamos interessados somente no ponto r → ( 0,1 ) , vamos substituir esses valores ali então:

N → ( 0,1 ) = - 2.1 2 cos ⁡ 0 , - 2.1 2 sen ⁡ 0 , - 1

N → 0,1 = ( - 2,0 , - 1 )

Passo 4

Tendo o valor da normal e do ponto P 0 podemos descobrir a equação da reta normal! Vai ser assim:

x t = 1 - 2 t

y t = 0 + 0 t

z t = 0 - 1 t

r t = 1 - 2 t , 0 , - t ;   t ∈ R

Passo 5

Letra (c)

A equação do plano tangente também sabemos fazer, certo? Precisamos também do ponto P 0 e do vetor normal N → no ponto. A fórmula da equação do plano tangente é obtida pelo seguinte produto escalar:

P 0 = x 0 , y 0 , z 0

N → = a , b , c

P l a n o →   a , b , c . x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Substituindo nossos valores encontrados nos passos anteriores, a equação do plano tangente no ponto r → ( 0,1 ) é a seguinte

- 2,0 , - 1 x - 1 , y , z = 0

- 2 x + 2 + 0 y - z = 0

- 2 x - z = - 2

2 x + z = 2

Resposta

  1. Paraboloide circular, z = 1 - x 2 - y 2
  2. r t = 1 - 2 t , 0 , - t ,   t ∈ R
  3. 2 x + z = 2

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Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados.d) r → u ,v = u ,v ,1 - u - v ; P 1 4 , 1 4 , 1 2
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