Exercícios Resolvidos de Reta Normal e Plano Tangente

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2014.1 - 2a

Quais superfícies dadas na figura abaixo correspondem às parametrizações II e IV:

I r u , v = 2 + cos v cos u , 2 + cos v sen u , sen v ,     u , v 0,2 π I I r u , v = cos u , sen u , v ,     u 0,2 π ,   v 0,2 I I I r u , v = a sen u cos v , a sen u sen v , a cos u ,     u 0 , π   e   v 0,2 π I V r u , v = u cos v , u sen v , u ,     u 0,4 , v 0,2 π

Passo 1

Vamos olhar as parametrizações de I I e I V , primeiro com I I

r u , v = cos u , sen u , v ,     u 0,2 π ,   v 0,2

Repara que temos

cos 2 u + sen 2 u = 1

Então

x 2 + y 2 = 1

Isso é uma circunferência, e ela independe do valor de v , ou seja, ela vai ficar sendo repetida para cada valor de v entre 0 e 2 , e a figura que fica assim é o cilindro, ou seja, a quarta figura.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos olhar agora a parametrização de I V

r u , v = u cos v , u sen v , u ,     u 0,4 , v 0,2 π

Aqui se temos um seno e cosseno de novo, fazemos x 2 + y 2 e vamos ter

u cos v 2 + u sen v 2

u 2 cos 2 v + u 2 sen 2 v

u 2 cos 2 v + sen 2 v

u 2

Dessa vez sobrou aquele u 2 , mas isso é z 2 na nossa parametrização, então vamos ter

x 2 + y 2 = z 2

E essa equação é de um cone, e dentro das figuras o cone é a terceira figura.

Resposta

I I

I V

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