Exercícios Resolvidos de Reta Normal e Plano Tangente

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Enunciado

Quais superfícies dadas na figura abaixo correspondem às seguintes parametrizações.

I r u , v = 2 + cos ⁡ v cos ⁡ u , 2 + cos ⁡ v sen ⁡ u , sen ⁡ v ,     u , v ∈ 0,2 π I I r u , v = cos ⁡ u , sen ⁡ u , v ,     u ∈ 0,2 π ,   v ∈ 0,2 I I I r u , v = a sen ⁡ u cos ⁡ v , a sen ⁡ u sen ⁡ v , a cos ⁡ u ,     u ∈ 0 , π   e   v ∈ 0,2 π I V r u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ v , u ,     u ∈ 0,4 , v ∈ 0,2 π

Diga quais as parametrizações da curvas da grade para as superfícies parametrizadas por I I e por I V e a que correspondem.

Passo 1

Vamos olhar as parametrizações de I I e I V , primeir com I I

r u , v = cos ⁡ u , sen ⁡ u , v ,     u ∈ 0,2 π ,   v ∈ 0,2

Repara que temos

cos 2 ⁡ u + sen 2 ⁡ u = 1

Então

x 2 + y 2 = 1

Isso é uma circunferência, e ela independe do valor de v , ou seja ela vai ficar sendo repetida para cada valor de v entre 0 e 2 , e a figura que fica assim é o cilindro, ou seja, a quarta figura.

Passo 2

Vamos olhar agora a parametrização de I V

r u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ v , u ,     u ∈ 0,4 , v ∈ 0,2 π

Aqui se temos um seno e cosseno de novo, mas se fizermos x 2 + y 2 vamos ter

u cos ⁡ v 2 + u sen ⁡ v 2

u 2 cos 2 ⁡ v + u 2 sen 2 ⁡ v

u 2 cos 2 ⁡ v + sen 2 ⁡ v

u 2

Dessa vez sobrou aquele u 2 , mas isso é z 2 na nossa parametrização, então vamos ter

x 2 + y 2 = z 2

E essa equação é de um cone, e dentro das figuras o cone é a terceira figura.

Resposta

I I →

I V →

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Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Desenhe a superfície e o plano tangente. r u , v = 1 - u 2 - v 2 i ⃑ - v j ⃑ - u k ⃑; ( - 1 , - 1 , - 1 )
Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados.d) r → u ,v = u ,v ,1 - u - v ; P 1 4 , 1 4 , 1 2
Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados.c) z = x y ; P 0 1 , 1 2 , 1 2 ;P 1 ( 0 , 2 ,0 )
Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados. r → u ,v = u 2 + v 2 - 1 ,u ,v ; P ( 4,1 , 2 )
Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a superfície