Exercícios Resolvidos de Série e Polinômio de Taylor

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Enunciado

Encontre f x , usando série de Taylor gerada por f em a , sabendo que:

Passo 1

Lembrando que a série de Taylor é definida por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Como todos os valores das derivadas da função estão em torno de 1 , vamos fazer a série com a = 1 . Em torno de a = 1 temos:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 1 n ! x - 1 n

O que temos que fazer agora é substituir os valores da tabela e achar o polinômio correspondente.

Passo 2

A tabela é:

Por essa tabela conseguimos montar o polinômio aplicando os valores na fórmula de Taylor:

f x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 x - 1 2 2 ! + f ' ' ' 1 x - 1 3 3 ! + f 4 x x - 1 4 4 ! + f 5 x x - 1 5 5 !

f x = 3 + 1 9 x - 1 + 6 2 x 2 - 2 x + 1 2 + 1 6 8 x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 6 +

+ 336 x 4 - 4 x 3 + 6 x 2 - 4 x + 1 24 + 360 x 5 - 5 x 4 + 10 x 3 - 10 x 2 + 5 x - 1 120

f x = 3 + 19 x - 19 + 31 x 2 - 62 x + 31 + 28 x 3 - 84 x 2 + 84 x - 28 +

+ 14 x 4 - 56 x 3 + 84 x 2 - 56 x + 14 + 3 x 5 - 15 x 4 + 30 x 3 - 30 x 2 + 15 x - 3

f x = 3 x 5 - x 4 + 2 x 3 + x 2 - 2

Prontinho!! Esse é o nosso polinômio!

Resposta

f x = 3 x 5 - x 4 + 2 x 3 + x 2 - 2