Exercícios Resolvidos de Série e Polinômio de Taylor

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Enunciado

Mostre que a função f ( x ) = sin ⁡ x pode ser representado como série de Taylor em torno de π 2 para todo x .

Passo 1

Lembrando que a série de Taylor é definida por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Em torno de x 0 = π 2 temos:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n π 2 n ! x - π 2 n

O que temos que fazer agora é tentar achar um padrão no valor das derivadas de cos ⁡ x .

Passo 2

Vamos montar uma tabelinha para as derivadas de sin ⁡ x e seus valores no ponto π 2 :

Por essa tabela conseguimos perceber o seguinte padrão: só os termos de n par vão aparecer na série pois os de n ímpar são sempre zero. E os componentes de termo par vão trocando de sinal!

Podemos substituir todos os n na fórmula por 2 n para pegarmos apenas os n pares. E usando o termo - 1 n para cuidar da troca de sinal ficamos com:

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x - π 2 2 n

Prontinho!! Essa é a nossa série de Taylor!

E perceba que ela não possui restrições, portanto é definida para qualquer x .

Resposta

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x - π 2 2 n