Exercícios Resolvidos de Série e Polinômio de Taylor

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Enunciado

Encontre a série de Taylor em torno de x 0 = 0 para as funções:

a f x = sin ⁡ x

b f x = cos ⁡ x

c f x = 1 1 - x

d f x = e x

e f x = ln ⁡ 1 + x

Passo 1

Lembrando que a série de Taylor é definida por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Em torno de x 0 = 0 temos:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

O que temos que fazer agora é tentar achar um padrão no valor das derivadas de cada f x . Vai ficar mais claro quando vocês verem sendo feito haha.

Passo 2

a f x = sin ⁡ x

Vamos começar escrevendo o valor de algumas derivadas de f x :

Por essa tabela conseguimos pegar o seguinte padrão, só os termos de n ímpar vão aparecer na série pois os de n par são sempre zero. E os componentes de termo ímpar vão trocando de sinal!

Podemos substituir todos os n na fórmula por 2 n + 1 para pegarmos apenas os n ímpares. E usando o termo - 1 n para cuidar da troca de sinal ficamos com:

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! x 2 n + 1

Passo 3

b f x = cos ⁡ x

Essa provavelmente vai ficar bem parecida com a do seno né? Fazendo a mesma tabelinha:

O padrão é praticamente o mesmo, mas dessa vez temos apenas os n pares! Então vamos trocar n por 2 n pra pegar só os pares e manter o termo - 1 n pra troca de sinais.

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x 2 n

Passo 4

c f x = 1 1 - x

Montamos a tabelinha de novo:

E aí, essa tabela ta te lembrando alguma coisa? Pra mim ela ta igualzinha ao fatorial de n né? Então nossa série vai ficar:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ n ! n ! x n = ∑ n = 0 ∞ x n

Passo 5

d f x = e x

Precisa nem de tabela pra dizer o que vai acontecer aqui né? Independente do n , f n 0 vai valer sempre e 0 = 1 . Logo, a série de Taylor vai ficar:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Passo 6

e f x = ln ⁡ 1 + x

Esse não ta tão óbvio quanto o último né? Vamos para a nossa tabelinha de novo:

Vamos passo a passo. Repara como os termos estão trocando de sinal sempre que mudamos o n ! E que para n ímpar o sinal é positivo. Logo, teremos um termo - 1 n - 1 na nossa série de Taylor.

Outra coisa importante é que temos de novo aquela cara de fatorial! Só que agora para n = 4 apareceu o fatorial de 3 . Então tem que ter um n - 1 ! na jogada.

Dessa forma, nossa expressão genérica para f n 0 deve ser - 1 n - 1 n - 1 !

Essa fórmula só não bate com o resultado de n = 0 , mas como para esse n temos f 0 0 = 0 nem precisamos contar ele! Nossa série de Taylor ficaria então:

ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n - 1 ! n ! x n

Repare que começamos em n = 1 ao invés de 0 justamente para eliminar aquela primeira linha da tabela. Outro detalhe importante é que podemos decompor n ! em n n - 1 !

Assim ficamos com:

ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x n

É comum iniciarmos a série com n = 0 , para isso basta trocarmos os n por n + 1 :

ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 x n + 1

Ufa, esse é o valor final da nossa série de Taylor!

Resposta

a   sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! x 2 n + 1

b   cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x 2 n

c   1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

d   e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

e   ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 x n + 1