Exercícios Resolvidos de Série e Polinômio de Taylor

Lista 0 – Professor Daniel – UFRJ – Questão 1

a Obtenha as aproximações linear e quadrática para f x = cos x , em torno de x = π 4 usando a fórmula de Taylor.

b Em um mesmo gráfico, esboce a curva y = cos x e as aproximações linear e quadrática obtidas em a . Através do gráfico analise o comportamento das aproximações constando que representam f x apenas localmente. Qual das duas curvas você escolheria para aproximar f x em torno de x = π 4 .

Obs.: Os gráficos podem ser esboçados a mão ou traçados usando software ou ainda na calculadora.

Passo 1

a Nessa letra ele quer simplesmente os polinômios de Taylor de graus 1 e 2 . Temos:

n = 1 , x 0 = π 4 :

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0

cos x cos π 4 - sin π 4 x - π 4 = 1 2 + π 4 2 - x 2 = 1 2 π 4 + 1 - x

n = 2 , x 0 = π 4 :

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2

cos x cos π 4 - sin π 4 x - π 4 - cos π 4 2 x - π 4 2 = 2 64 - 16 x 2 + 8 π - 32 x - π 2 + 8 π + 32

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O próximo passo é esboçar o gráfico disso. Fica assim oh:

Como era de se esperar todas as aproximações têm o valor exato em π 4 . A curva azul é o polinômio de Taylor de grau 1 e a curva vermelha é o polinômio de Taylor de grau 2 .

Outra conclusão que chegamos por meio desse gráfico é que em torno de π 4 , o polinômio de Taylor de grau 2 é uma aproximação melhor que o de grau 1 .

Resposta

a n = 1 : cos x 1 2 π 4 + 1 - x

n = 2 :

cos x 2 64 - 16 x 2 + 8 π - 32 x - π 2 + 8 π + 32

b

Todas as aproximações têm o valor exato em π 4 . Em torno de π 4 , o polinômio de Taylor de grau 2 é uma aproximação melhor que o de grau 1 .

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