Exercícios Resolvidos de Série e Polinômio de Taylor

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 16, exercício 15

Use um polinômio de Taylor em torno de π 4 para aproximar cos 42 ° com uma acurácia de 10 - 6 .

Passo 1

Se liga numa coisa. Aqui o cara não deu o grau do polinômio de Taylor pra gente! Por que será?

Porque ele quer que a gente descubra, é claro! E como ele definiu o erro máximo, vamos usar nossa fórmula

E x max k x 0 , x f n + 1 k n + 1 ! x - x 0 n + 1

Nesse caso,

x = 42 ° = 0.733 r a d

x 0 = π 4

Logo,

max k 0.733 , π 4 f n + 1 k n + 1 ! 0.733 - π 4 n + 1 10 - 6

Agora vem a parte mais chata. Sabemos que nossa f n + 1 k pode ser um seno ou um cosseno dependendo de n + 1 ser par ou ímpar.

Se n for par, então f n + 1 k será um seno e a derivada terá como módulo do valor máximo:

sin π 4 = 2 2 = 0.707107

Se n for ímpar, então f n + 1 k será um cosseno e a derivada terá como módulo do valor máximo:

cos 0.733 = 0.743145

A solução mais rápida seria simplesmente considerar o máximo geral como o máximo desses dois valores. No caso, 0.743145 . Substituindo:

0.743145 n + 1 ! - 0.052398 n + 1 10 - 6

Resolver isso aí ta fora de questão né? Vamos jogar uns valores de n e ver no que dá:

n = 1 :

E 42 ° 1020.171 × 10 - 6

n = 2 :

E 42 ° 17.818 × 10 - 6

n = 3 :

E 42 ° 0.233 × 10 - 6

Opa, achamos um limitante inferior à 10 - 6 . Logo, queremos o polinômio de Taylor de grau 3 !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando as derivadas de f x :

f x = cos x

f ' x = - sin x

f ' ' x = - cos x

f 3 x = sin x

Substituindo x 0 = π 4 na fórmula:

f x f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + f 3 x 0 3 ! x - x 0 3

cos x cos π 4 - sin π 4 x - π 4 - cos π 4 2 x - π 4 2 + sin π 4 6 x - π 4 3

Substituindo x = 0.733 na fórmula:

cos 0.733 0.7431446

Se compararmos com o valor real de cos 42 ° teremos um erro de:

0.7431446 - 0 . 743144825 = 0.225 × 10 - 6

Resposta

cos 0.733 0.7431446

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